Sappiamo che se sommiamo tante volte un numero per sè stesso, possiamo abbreviarlo usando la moltiplicazione.
Se ad esempio ho 2+2+2+2+2, posso riscriverlo come 2\times 5.
Se ho 3+3+3+3, posso riscriverlo come 3\times 4.
Allo stesso modo, se moltiplico tante volte un numero per sè stesso, possiamo abbreviarlo usando la potenza:
Il numero che sto moltiplicando viene chiamato base e il numero di volte che lo sto moltiplicando è detto esponente.
Per scrivere una potenza, scrivo prima la base come un numero normale e poi scrivo in alto a destra in piccolo l'esponente.
Se ad esempio ho 2 moltiplicato per sè stesso quattro volte, cioè 2\times 2\times 2\times 2, posso riscriverlo come 2^4, perché la base è 2 e l'esponente è 4.
Se ho 7\times 7\times 7, la base è 7 e l'esponente è 3, dunque posso riscriverlo come 7^3.
Come si legge una potenza? Diciamo prima la base, poi "alla" e poi l'esponente detto come un numero ordinale. Ad esempio, se ho 2^4, posso leggerlo "due alla quarta". Se ho 3^2, posso leggerlo come "tre alla seconda".
Se ho 7^5 posso leggerlo "sette alla quinta".
Nel caso in cui l'esponente è 2, possiamo anche dire "al quadrato". Quindi, ad esempio, 3^2 posso anche leggerlo come "tre al quadrato".
Se l'esponente è 3, inoltre, possiamo anche dire "al cubo". Quindi se ho 4^3 posso anche leggerlo come "quattro al cubo".
Il perché di queste alternative è per questioni geometriche che più avanti vedrete.
Quindi la potenza è l'operazione successiva alla moltiplicazione.
Ci ricordiamo che quando addizioniamo dei numeri, 0 è il numero che non cambia niente. Quando moltiplico, 1 è il numero che non fa niente. E quando elevo a potenza? In questo caso è sempre 1, perché se ho, ad esempio, 2^1, sto dicendo che sto moltiplicando 2 per sè stesso una sola volta, cioè ho solo 2.
Quindi se elevo un numero alla prima non cambio niente.
E se elevo alla 0? Può sembrare che la domanda non abbia nemmeno senso, come faccio a moltiplicare un numero per sè stesso 0 volte? Per far tornare i conti, però, i matematici hanno definito che se elevi un numero alla 0 ottieni 1. Quindi 8^0 è uguale a 1.
Esiste però un eccezione: non posso fare 0^0. La ragione è la stessa per la quale non si può dividere per 0 e più avanti capirete il perché. Se dunque trovate da qualche parte uno 0^0, dovete dire che avete una forma indeterminata.
Notiamo poi che siccome moliplicare per 1 non cambia niente, se ho 1^3 o anche 1^{3918038}, avrò sempre una serie di 1 moltiplicati tra loro, cioè 1\times 1\times 1\times ...\times 1 che farà sempre 1. Quindi 1 elevato a qualsiasi potenza fa sempre 1.
Anche se elevo 0 ad un numero naturale ottengo sempre 0, tranne quando l'esponente è uguale a 0 perché ricordiamo che in quel caso otteniamo una forma indeterminata.
Le potenze godono di tante altre proprietà che abbiamo analizzato in quest'altra lezione apposita: proprietà delle potenze