Di seguito analizzeremo le proprietà delle potenze.
Le potenze hanno un paio di semplici e molto importanti proprietà che ci aiutano moltissimo nello svolgere i calcoli o nel risolvere i problemi. Cominciamo subito:
La moltiplicazione di due potenze con stessa base è uguale ad una potenza con sempre la medesima base e con esponente la somma dei due esponenti:
n^a \cdot n^b = n^{a+b}
Vediamo qualche esempio:
2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7
5^{12} \cdot 5^3 = 5^{12+3}= 5^{15}
La moltiplicazione di due potenze con stesso esponente è uguale ad una potenza con sempre il medesimo esponente e con base il prodotto delle due basi:
n^a \cdot m^a = (n\cdot m)^a
Vediamo qualche esempio:
2^4 \cdot 5^4 = (2\cdot 5)^4 = 10^4
3^2 \cdot 2^2 = (3\cdot 2)^2 = 6^2
Queste due proprietà sono affiancate da quello che succede quando al posto che moltiplicando stiamo dividendo.
Nel caso della divisone tra due potenze con la stessa base, l'esponente sarà la differenza tra i due esponenti, quindi:
n^a : n^b = n^{a-b}
Possiamo ricordarcelo pensando che come la divisione è “il contrario” della moltiplicazione, la sottrazione lo è per l’addizione.
Facciamo qualche esempio:
2^3 : 2^2 = 2^{3-2}=2^1 =2
3^8 : 3^5 = 3^{8-5}=3^3
Nel caso della divisione tra potenze con lo stesso esponente, la base sarà il quoziente della divisione tra le basi:
n^a : m^a = (n:m)^a
Vediamo qualche esempio:
4^3 : 2^3 = (4:2)^3 = 2^3
20^7 : 2^7 = (20:2)^7 = 10^7
La potenza di una potenza è uguale ad una potenza con sempre la stessa base e con esponente il prodotto tra gli esponenti:
(n^a)^b=n^{a\cdot b}
Vediamo qualche esempio:
{(2^3)}^5 = 2^{3\cdot 5}=2^{15}
4^7={(2^2)}^7=2^{2\cdot7}=2^{14}
Semplificare l'espressione \frac{6^5 \cdot 3^4}{6^3 \cdot 3^2}.
La soluzione è: 6^2 \cdot 3^2
Per semplificare questa espressione, utilizziamo le proprietà delle potenze con i numeri.
Nel dividere potenze con la stessa base, sottraiamo gli esponenti.
Quindi, \frac{6^5 \cdot 3^4}{6^3 \cdot 3^2} diventa 6^{5 - 3} \cdot 3^{4 - 2} = 6^2 \cdot 3^2.
Quindi la soluzione è: 6^2 \cdot 3^2
Semplificare l'espressione \frac{3^4 \cdot 4^3}{3^2 \cdot 4^2}.
La soluzione è: 3^2 \cdot 4.
Per semplificare questa espressione, utilizziamo le proprietà delle potenze con i numeri.
Nel dividere potenze con la stessa base, sottraiamo gli esponenti.
Quindi, \frac{3^4 \cdot 4^3}{3^2 \cdot 4^2} diventa 3^{4 - 2} \cdot 4^{3 - 2} = 3^2 \cdot 4
Quindi la soluzione è: 3^2 \cdot 4
Esercizio: Semplificare l'espressione \frac{2^5 \cdot 5^3}{2^3 \cdot 5^2}.
La soluzione è: 2^2 \cdot 5
Per semplificare questa espressione, utilizziamo le proprietà delle potenze con i numeri.
Nel dividere potenze con la stessa base, sottraiamo gli esponenti.
Quindi, \frac{2^5 \cdot 5^3}{2^3 \cdot 5^2} diventa 2^{5 - 3} \cdot 5^{3 - 2} = 2^2 \cdot 5.
Quindi la soluzione è: 2^2 \cdot 5
Semplificare l'espressione \frac{10^4 \cdot 5^3}{10^2 \cdot 5^2}.
La soluzione è: 10^2 \cdot 5
Per semplificare questa espressione, utilizziamo le proprietà delle potenze con i numeri.
Nel dividere potenze con la stessa base, sottraiamo gli esponenti.
Quindi, \frac{10^4 \cdot 5^3}{10^2 \cdot 5^2} diventa 10^{4 - 2} \cdot 5^{3 - 2} = 10^2 \cdot 5.
Quindi la soluzione è: 10^2 \cdot 5
Semplificare l'espressione \frac{7^5 \cdot 2^3}{7^3 \cdot 2^2}.
La soluzione è: 7^2 \cdot 2
Per semplificare questa espressione, utilizziamo le proprietà delle potenze con i numeri.
Nel dividere potenze con la stessa base, sottraiamo gli esponenti.
Quindi, \frac{7^5 \cdot 2^3}{7^3 \cdot 2^2} diventa 7^{5 - 3} \cdot 2^{3 - 2} = 7^2 \cdot 2.
Quindi la soluzione è: 7^2 \cdot 2
Semplificare l'espressione \frac{10^4 \cdot 5^3}{10^2 \cdot 5^2}.
La soluzione è: 10^2 \cdot 5
Per semplificare questa espressione, utilizziamo le proprietà delle potenze con i numeri.
Nel dividere potenze con la stessa base, sottraiamo gli esponenti.
Quindi, \frac{10^4 \cdot 5^3}{10^2 \cdot 5^2} diventa 10^{4 - 2} \cdot 5^{3 - 2} = 10^2 \cdot 5.
Quindi la soluzione è: 10^2 \cdot 5
Semplificare l'espressione \frac{7^5 \cdot 2^3}{7^3 \cdot 2^2}.
La soluzione è: 7^2 \cdot 2
Per semplificare questa espressione, utilizziamo le proprietà delle potenze con i numeri.
Nel dividere potenze con la stessa base, sottraiamo gli esponenti.
Quindi, \frac{7^5 \cdot 2^3}{7^3 \cdot 2^2} diventa 7^{5 - 3} \cdot 2^{3 - 2} = 7^2 \cdot 2.
Quindi la soluzione è: 7^2 \cdot 2
Semplificare l'espressione \frac{12^4 \cdot 6^3}{12^2 \cdot 6^2}.
La soluzione è: 12^2 \cdot 6
Per semplificare questa espressione, utilizziamo le proprietà delle potenze con i numeri.
Nel dividere potenze con la stessa base, sottraiamo gli esponenti.
Quindi, \frac{12^4 \cdot 6^3}{12^2 \cdot 6^2} diventa 12^{4 - 2} \cdot 6^{3 - 2} = 12^2 \cdot 6.
Quindi la soluzione è: 12^2 \cdot 6
Semplificare l'espressione x^3 \cdot x^5 \cdot x^{-2}.
La soluzione è: x^6.
Per semplificare questa espressione, utilizziamo le proprietà delle potenze.
Quando moltiplichiamo potenze con la stessa base, sommiamo gli esponenti.
Quindi, x^3 \cdot x^5 \cdot x^{-2} diventa x^{3 + 5 - 2} = x^6.
Quindi la soluzione è: x^6
Semplificare l'espressione \frac{x^8 \cdot y^5}{x^3 \cdot y^2}.
La soluzione è: x^5 \cdot y^3.
Per semplificare questa espressione, utilizziamo le proprietà delle potenze.
Nel dividere potenze con la stessa base, sottraiamo gli esponenti.
Quindi, \frac{x^8 \cdot y^5}{x^3 \cdot y^2} diventa x^{8 - 3} \cdot y^{5 - 2} = x^5 \cdot y^3.
Quindi la soluzione è: x^5 \cdot y^3