I vettori sono un argomento molto importante e incredibilmente vasto in fisica ed in matematica. Per ora, vedremo ad un vettore come una freccia orientata nello spazio:
Per indicare che x si tratta di un vettore gli mettiamo una freccetta sopra:
\overrightarrow{x}
Al contrario degli scalari (i numeri), i vettori hanno bisogno di tre informazioni per essere descritti:
Un vettore può variare in lunghezza:
Questa lunghezza si chiama modulo. Il modulo di un vettore \overrightarrow{x} si può indicare in vari modi:
Possiamo togliere la freccetta e scriverlo x, possiamo mettere il vettore fra due stanghette verticali \left | \overrightarrow{x} \right | o anche in mezzo a quattro stanghette \left | \overrightarrow{x} \right |.
Inoltre il vettore ha una direzione:
Infine possiamo notare che i due seguenti vettori hanno stesso modulo e direzione, ma non sono uguali:
Questo perché hanno verso opposto, l’ultima informazione che ci serve per identificare un vettore.
Quindi un vettore ha un modulo, una direzione e un verso.
Le estremità di un vettore vengono chiamate punta e coda:
Moltiplicazine per uno scalare
Se moltiplichiamo un vettore \overrightarrow{x} per uno scalare positivo c equivale a moltiplicare il modulo di \overrightarrow{x} per c:
Quindi equivale ad allungarlo o a restringerlo.
Se c è negativo, dobbiamo pure cambiare il verso del vettore:
Se quindi moltiplichiamo un vettore per 0, otteniamo il vettore nullo \overrightarrow{0}:
Somma algebrica tra due vettori
Possiamo sommare due vettori usando il metodo del parallelogramma:
Prendiamo uno dei due vettori e lo trasliamo in maniera da far coincidere le code dei due vettori:
Ora costruiamo il parallelogramma con lati le due frecce:
La somma tra i due vettori \overrightarrow{x} e \overrightarrow{y} è il vettore con coda il punto di sovrapposizione delle due code e con punta il vertice opposto del parallelogramma:
Alternativamente possiamo usare il metodo punto-coda:
Prendiamo uno dei due vettori e lo trasliamo in maniera da far coincidere la punta del primo con la coda del secondo:
La somma dei due vettori è il vettore con coda la coda del primo e con punto la punto del secondo:
Possiamo notare che infatti otteniamo lo stesso risultato.
Per fare la differenza tra due vettori, dobbiamo fare la somma del primo e dell‘opposto del secondo. La differenza tra due vettori \overrightarrow{v} e \overrightarrow{w} la possiamo vedere come:
\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}
Ma anche come:
\overrightarrow{v} + (-\overrightarrow{w}
Infine, -\overrightarrow{w} lo possiamo vedere come il vettore \overrightarrow{w} moltiplicato per -1, ovvero il vettore \overrightarrow{w}, ma con verso opposto.
Quindi quando abbiamo una differenza tra due vettori, dobbiamo cambiare di segno il vettore che stiamo sottraendo:
E sommarlo al primo vettore:
Due vettori si dicono equipollenti se hanno stesso modulo, direzione e verso:
L’equipollenza gode di tre proprietà:
Possiamo inserire un nostro vettore
Possiamo proiettare
Quindi:
Prendiamo ora il vettore con modulo pari a
Un vettore con modulo pari ad
Notiamo che possiamo scrivere il modulo delle componenti come:
Quindi, ricordando che moltiplicare un vettore per uno scalare è uguale a moltiplicare il modulo per esso, otteniamo che possiamo riscrivere le componenti come multipli dei versori sugli assi. Il numero per cui dobbiamo moltiplicare sarà proprio il modulo delle componenti siccome i versori hanno modulo pari ad
Possiamo quindi riscrivere il nostro vettore come:
Abbiamo quindi scomposto il nostro vettore con le sue componenti sugli assi
È molto più facile sommare due vettori scomposti sugli assi:
Se prendiamo un vettore:
E un vettore:
La loro somma sarà:
Quindi la somma di due vettori è uguale ad un vettore con componenti la somma delle componenti. Se ad esempio abbiamo:
E
Avremo che:
Se dobbiamo passare da
E avremo:
Usando un‘altra notazione possiamo scrivere il vettore come una matrice con solo una colonna, le cui entrate sono le componenti del vettore:
Possiamo quindi sommare i due vettori sommando le due matrici:
E
Avremo:
Sappiamo come sommare due vettori, ma come possiamo moltiplicarli tra di loro? Esistono in realtà più modi. Uno di essi è il prodotto scalare:
Il prodotto scalare tra due vettori
Si chiama prodotto scalare perchè da come risultato uno scalare. Possiamo proiettare
E siccome avremo:
Possiamo riscrivere il prodotto scalare come:
Possiamo effettuare lo stesso procedimento per
Siccome
Siccome il coseno di angoli compresi tra
Se scriviamo i due vettori scomposti nelle loro componenti:
Il prodotto scalare fra i due è uguale alla somma dei prodotti delle componenti di ogni asse:
Quindi conoscendo le componenti dei due vettori, il loro prodotto scalare si può calcolare molto velocemente.
Il prodotto scalare è inoltre commutativo:
E distributivo:
Possiamo moltiplicare due vettori anche usando il prodotto vettoriale. Esso si indica con una croce
Quindi se avete disegnato i due vettori sul vostro foglio, il loro prodotto vettoriale sarà un vettore entrante o uscente dal foglio.
Siccome il seno di
Se abbiamo due vettori nello spazio tridimensionale scomposti nelle loro componenti:
Possiamo calcolare il loro prodotto vettoriale nel seguente modo:
Prendiamo una matrice {3\times 3} e mettiamo nella prima riga i versori degli assi e nelle altre due le componenti dei vettori sotto il corrispettivo versore:
Il prodotto vettoriale è uguale al determinante di questa matrice. Per calcolarlo dobbiamo momentaneamente eliminare la prima riga e la prima colonna:
E calcoliamo il determinante della matrice
Ora invece cancelliamo la prima riga e la seconda colonna e moltiplichiamolo per
E calcoliamo il determinante della matrice rimasta e moltiplichiamolo per
Cancelliamo quindi la prima riga e la terza colonna e calcoliamo il determinante dell‘ultima matrice:
Ed ora sommiamo lil primo e il terzo, mentre sottraiamo il secondo. Il risultato equivale al prodotto vettoriale dei due vettori:
Potete memorizzare il procedimento ricordando che per trovare i determinanti moltiplicate le componenti disegnando delle croci. Infatti il prodotto vettoriale viene spesso chiamato prodotto in croce e in inglese si dice cross product.
Il prodotto vettoriale è distributivo:
Ma non è commutativo, infatti:
Infatti, per calcolare il verso (che determina il segno) dobbiamo usare la regola della mano destra:
Con la mano destra, fingiamo di ruotare il primo vettore sul secondo. La direzione che indica il vostro pollice equivale al verso del vettore:
Se ruotiamo il secondo sul primo invece che il primo sul secondo, il nostro pollice punterà nel verso opposto, dunque il prodotto vettoriale non è commutativo.