Di seguito analizzeremo gli urti.
Un urto è una collisione tra due corpi nello spazio che coinvolge forze di tipo impulsivo, ovvero che hanno intensità molto elevate ma che durano pochi istanti.
Poiché possiamo considerare l'urto come un sistema isolato, dove non agiscono forze esterne, sappiamo che la quantità di moto totale del sistema prima e dopo la collisione si conserva.
Si definisce urto elastico un urto in cui si conservano sia la la quantità di moto che l'energia cinetica del sistema.
In questa sezione vedremo l'urto elastico frontale, quindi possiamo scrivere le grandezze fisiche delle velocità, che sarebbero vettoriali, come scalari.
Quindi:
\left\{ \begin{array}{l} q_{1,i}+q_{2,i}=q_{1,f}+q_{2,f} \\ K_{1,i}+K_{2,i}=K_{1,f}+K_{2,f} \end{array} \right.
Ovvero:
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2}
{1 \over 2}m_1v_{1}^2+{1 \over 2}m_2v_{2}^2={1 \over 2}m_1V_{1}^2+{1 \over 2}m_1V_{2}^2
Da queste 2 formule possiamo ricavare le formule per le velocità finali, che ci sarà possibile calcolare conoscendo le masse e le velocità iniziali.
Ci basteranno pochi passaggi per ottenere:
Possiamo semplificare un mezzo nella seconda equazione,
\left\{ \begin{array}{l} m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2} \\ m_1v_{1}^2+m_2v_{2}^2=m_1V_{1}^2+m_1V_{2}^2 \end{array} \right.
Fattoriziamo,
\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2) \\ m_1(v_1^2-V_1^2)=-m_2(v_2^2-V_2^2) \end{array} \right.
Scriviamo il quadrato come la somma per differenza di 2 termini.
m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2)
m_1(v_1-V_1)(v_1+V_1)=-m_2(v_2-V_2)(v_2+V_2)
Sostituiamo il primo termine della prima equazione nella seconda per ottenere:
\require{cancel}\cancel{m_1(v_1-V_1)}(v_1+V_1)=\cancel{m_1(v_1-V_1)}(v_2+V_2)
V_2=v_1+V_1-v_2
Infine sostituiamo il tutto nell'equazione della quantità di moto
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}V_{1}+m_{2}(v_1+V_1-v_2)
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}V_{1}+m_{2}v_1+m_2V_1-m_2v_2
E poi isoliamo V_1:
V_1={m_1-m_2 \over m_1+m_2}v_1+{2m_2 \over m_1+m_2}v_2
Applichiamo lo stesso procedimento per V_2:
V_2={m_2-m_1 \over m_1+m_2}v_2+{2m_1 \over m_1+m_2}v_1
Queste formule valgono per ogni urto elastico frontale.
Queste ultime 2 formule sono importantissime e putroppo vanno imparate a memoria per evitare di ripetere ogni volta i calcoli.
Un urto anelastico è un tipo di urto dove si conserva solo la quantità di moto e non l'energia cinetica.
Per gli urti anelastici è quindi valida solo la formula della conservazione della quantità di moto
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2}
Un urto completamente anelastico è un caso di urto elastico in cui i corpi rimangono attaccati e l'energia cinetica finale è nulla
Nel caso di un urto completamente anelastico, la nostra formula si semplifica.
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=(m_{1}+m_{2})V
Non tutti gli urti avvengono sulla stessa linea retta, nella realtà è più probabile che le traiettorie dei corpi abbiano un'angolazione. In questo caso si parla di urto obliquo.
Matematicamente questo si spiega perché la quantità di moto è una quantità vettoriale.
Per studiare questo fenomeno quindi prendiamo in considerazione questa equazione:
m_{1}\vec{v_{1}}+m_{2}\vec{v_{2}}=m_{1}\vec{V_{1}}+m_{2}\vec{V_{2}}
Prendiamo ora come esempio un urto elastico obliquo tra due sfere di massa uguale, dove una sfera è ferma e l'altra ha velocità \vec{v}:
\left\{ \begin{array}{l} m\vec{v}=m\vec{V_{1}}+m\vec{V_{2}} \\ {1 \over 2}mv^2={1 \over 2}m_1V_{1}^2+{1 \over 2}m_1V_{2}^2 \end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \vec{v} = \vec{V_1}+\vec{V_2} \\ v^2 = V_1^2+V_2^2 \end{array} \right.
Queste due condizioni impongono che i vettori velocità finali delle 2 masse siano perpendicolari tra loro.