Triangoli simili

Di seguito analizzeremo i triangoli simili.

Cosa sono

Criteri


Cosa sono i triangoli simili?


Due triangoli sono detti simili se il primo è una copia rimpicciolita o ingrandita del secondo. Ad esempio, i due triangoli seguenti sono simili:

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Come per i triangoli congruenti, possono essere ruotati, ribaltati e traslati. Quindi anche i due triangoli seguenti sono simili:

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Due triangoli simili devono avere tutti gli angoli rispettivamente congruenti:

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Nel grafico riportato sopra, dovremo avere \(\alpha = \alpha ', \beta = \beta ' \) e \(\gamma = \gamma '.\) Inoltre, tutti i rapporti tra i rispettivi lati devono essere uguali:

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Nel grafico sopra, dobbiamo avere:


\({a\over a'} = {b\over b'} = {c\over c'}\)


Appare logico, infatti, che se abbiamo ridotto in scala un triangolo, i rapporti fra tutti i suoi lati devono essere uguali perché abbiamo rimpicciolito o ingrandito ognuno di loro nello stesso modo.


Esistono tre criteri per determinare se due triangoli sono simili:



Criteri di similitudine


Il primo criterio di similitudine afferma che:


Se due triangoli hanno due angoli congruenti, allora sono simili.


Questo perché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre \(180^{\circ},\) quindi anche il terzo deve essere uguale perché la somma di tutti e tre deve essere la stessa.


Il secondo criterio di similitudine afferma che:


Se due triangoli hanno due lati proporzionali e gli angoli compresi tra loro sono congruenti, allora questi due triangoli sono simili.


Questo perché siccome l'angolo è uguale, si può dimostrare che anche i terzi lati sono proporzionali, dunque i triangoli sono simili.


Il terzo criterio di similitudine afferma che:


Come abbiamo anticipato prima, se due triangoli hanno tutti e tre i lati in proporzione, allora sono due triangoli simili.