Triangoli particolari

Di seguito analizzeremo i triangoli particolari.

Isoscele

Equilatero

Particolari


Cosa sono i triangoli particolari?


Esistono dei casi particolari di triangoli che godono di alcune proprietà. Conoscerle ci permette di risolvere molto più facilmente alcuni problemi.


Triangolo rettangolo


Un triangolo è detto rettangolo se uno dei suoi angoli è un angolo retto. Si chiama così perché è metà di un rettangolo:

Triangolo rettangolo

I lati adiacenti all'angolo retto sono detti cateti, mentre quello opposto è detto ipotenusa.


Quindi nel nostro triangolo, \(a\) e \(b\) sono i cateti, mentre \(c\) è l'ipotenusa.


Siccome l'area di un rettangolo è base per altezza, se abbiamo metà rettangolo, l'area del triangolo sarà la metà di essa.


Il cateto \(a\) è l'altezza del rettangolo e \(b\) è la base, perciò l'area del triangolo sarà:


\(A = {ab\over 2}\)


Cioè cateto per cateto diviso due.


La proprietà più famosa, però, è il teorema di Pitagora, che dice che:


La somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa.


In altre parole, nel triangolo sopra, avremo:


\(a^2 + b^2 = c^2\)


Esistono poi molte altre proprietà interessanti dei triangoli rettangoli, ma le vedremo più avanti con la trigonometria.



Triangolo isoscele


Un triangolo è detto isoscele se ha due lati uguali. I due lati uguali vengono detti i “lati obliqui” mentre il terzo si chiama “base”.

Triangolo Isocele

Alternativamente, si può anche definire un triangolo isoscele come un triangolo con due angoli uguali. Siccome la prima condizione comporta la seconda e viceversa, potete usare entrambe.


Il triangolo isoscele gode di una proprietà interessante:


L’altezza della base è anche uguale alla mediana e alla bisettrice dell’angolo opposto:

Triangolo isoscele 2

Avremo quindi che data una delle tre seguenti condizioni:


  1. \(\widehat{A H C} = 90^{\circ}\) (o \(\widehat{BHC} = 90^{\circ}\) )

  2. \(AH=HB\)

  3. \(\alpha = \beta\)

Allora anche le altre due devono essere vere.



Triangolo equilatero


Un triangolo è detto equilatero se tutti i suoi lati sono uguali. Alternativamente, possiamo dire, come nel caso del triangolo isoscele, che un triangolo è equilatero se tutti i suoi angoli sono uguali. Anche in questo caso la prima condizione include la seconda e viceversa, quindi potete usare entrambe, anche se è più comune la prima.

Triangolo equilatero

Il triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele in cui anche la base è uguale al lato obliquo. Di conseguenza, anch’esso gode della proprietà dei triangoli isosceli vista in precendenza, che però vale per tutti i lati e non solo per la base.

Triangolo equilatero 2

Tracciando l’altezza da uno dei vertici, per questa proprietà dobbiamo avere:


\(AH = HB\)


Siccome abbiamo inoltre che:


\(AH+HB=AB\)


Otteniamo che:


\(AH+AH=AB\)


\(AH={AB \over 2}\)


Possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo \(\overset{\Delta}{AHC}\) per trovare l’altezza \(h\) (\(CH\)) in funzione del lato \(l\) (\(AB\) ). Avremo quindi:


\(AH^2 + CH^2 = CA^2\)


\(({AB\over 2})^2 + CH^2 = AB^2 \)


\({l\over 2}^2 +h^2 = l^2 \)


\(h^2 = l^2 – {l^2 \over 4}\)


\(h^2= {4l^2 –l^2 \over 4}\)


\(h= \sqrt{3l^2 \over 4}\)

\[h={\sqrt{3} \over 2} l\]



Triangoli particolari


Esistono alcuni triangoli rettangoli particolari che godono di alcune proprietà che ci permettono di risolvere molti problemi molto più velocemente. Iniziamo dal triangolo “\(45^{\circ} - 90 ^{\circ} - 45^{\circ}\)”:


Abbiamo detto che un triangolo rettangolo si chiama così perché è la metà di un rettangolo. Cosa succede però se prendiamo un caso particolare di rettangolo: il quadrato? Il tal caso otterremo un triangolo rettangolo isoscele:

Triangoloi particolari

Possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per trovare la diagonale \(d\) (che sarebbe l’ipotenusa del triangolo) conoscendo il lato \(l\) (che sarebbe il cateto del triangolo):


\(l^2 + l^2 = d^2 \)


\(d^2 = 2l^2\)


\(d=\sqrt{2} l\)


Esiste un altro caso particolare di triangolo rettangolo: il triangolo “\(30^{\circ} – 90^{\circ} – 60^{\circ}\)”. Notiamo infatti che è la metà di un triangolo equilatero:

Triangoloi particolari

Di conseguenza, utilizzando le proprietà del triangolo equilatero che abbiamo visto prima, avremo:

\[b={c\over 2}\]

\[a={\sqrt{3} \over 2} c\]

Utilizzando queste due formule, quindi, possiamo trovare tutti e tre i lati conoscendone uno qualsiasi.