Triangoli particolari
Di seguito analizzeremo i triangoli particolari.
Cosa sono i triangoli particolari?
Esistono dei casi particolari di triangoli che godono di alcune proprietà. Conoscerle ci permette di risolvere molto più facilmente alcuni problemi.
Triangolo rettangolo
Un triangolo è detto rettangolo se uno dei suoi angoli è un angolo retto. Si chiama così perché è metà di un rettangolo:
I lati adiacenti all'angolo retto sono detti cateti, mentre quello opposto è detto ipotenusa.
Quindi nel nostro triangolo, a e b sono i cateti, mentre c è l'ipotenusa.
Siccome l'area di un rettangolo è base per altezza, se abbiamo metà rettangolo, l'area del triangolo sarà la metà di essa.
Il cateto a è l'altezza del rettangolo e b è la base, perciò l'area del triangolo sarà:
A = {ab\over 2}
Cioè cateto per cateto diviso due.
La proprietà più famosa, però, è il teorema di Pitagora, che dice che:
La somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa.
In altre parole, nel triangolo sopra, avremo:
a^2 + b^2 = c^2
Esistono poi molte altre proprietà interessanti dei triangoli rettangoli, ma le vedremo più avanti con la trigonometria.
Triangolo isoscele
Un triangolo è detto isoscele se ha due lati uguali. I due lati uguali vengono detti i “lati obliqui” mentre il terzo si chiama “base”.
Alternativamente, si può anche definire un triangolo isoscele come un triangolo con due angoli uguali. Siccome la prima condizione comporta la seconda e viceversa, potete usare entrambe.
Il triangolo isoscele gode di una proprietà interessante:
L’altezza della base è anche uguale alla mediana e alla bisettrice dell’angolo opposto:
Avremo quindi che data una delle tre seguenti condizioni:
- \widehat{A H C} = 90^{\circ} (o \widehat{BHC} = 90^{\circ} )
- AH=HB
- \alpha = \beta
Allora anche le altre due devono essere vere.
Triangolo equilatero
Un triangolo è detto equilatero se tutti i suoi lati sono uguali. Alternativamente, possiamo dire, come nel caso del triangolo isoscele, che un triangolo è equilatero se tutti i suoi angoli sono uguali. Anche in questo caso la prima condizione include la seconda e viceversa, quindi potete usare entrambe, anche se è più comune la prima.
Il triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele in cui anche la base è uguale al lato obliquo. Di conseguenza, anch’esso gode della proprietà dei triangoli isosceli vista in precendenza, che però vale per tutti i lati e non solo per la base.
Tracciando l’altezza da uno dei vertici, per questa proprietà dobbiamo avere:
AH = HB
Siccome abbiamo inoltre che:
AH+HB=AB
Otteniamo che:
AH+AH=AB
AH={AB \over 2}
Possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo \overset{\Delta}{AHC} per trovare l’altezza h (CH) in funzione del lato l (AB ). Avremo quindi:
AH^2 + CH^2 = CA^2
({AB\over 2})^2 + CH^2 = AB^2
{l\over 2}^2 +h^2 = l^2
h^2 = l^2 – {l^2 \over 4}
h^2= {4l^2 –l^2 \over 4}
h= \sqrt{3l^2 \over 4}
h={\sqrt{3} \over 2} l
Triangoli particolari
Esistono alcuni triangoli rettangoli particolari che godono di alcune proprietà che ci permettono di risolvere molti problemi molto più velocemente. Iniziamo dal triangolo “45^{\circ} - 90 ^{\circ} - 45^{\circ}”:
Abbiamo detto che un triangolo rettangolo si chiama così perché è la metà di un rettangolo. Cosa succede però se prendiamo un caso particolare di rettangolo: il quadrato? Il tal caso otterremo un triangolo rettangolo isoscele:
Possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per trovare la diagonale d (che sarebbe l’ipotenusa del triangolo) conoscendo il lato l (che sarebbe il cateto del triangolo):
l^2 + l^2 = d^2
d^2 = 2l^2
d=\sqrt{2} l
Esiste un altro caso particolare di triangolo rettangolo: il triangolo “30^{\circ} – 90^{\circ} – 60^{\circ}”. Notiamo infatti che è la metà di un triangolo equilatero:
Di conseguenza, utilizzando le proprietà del triangolo equilatero che abbiamo visto prima, avremo:
b={c\over 2}
a={\sqrt{3} \over 2} c
Utilizzando queste due formule, quindi, possiamo trovare tutti e tre i lati conoscendone uno qualsiasi.