Superficie e volume dei solidi

In questa lezione vedremo come calcolare il volume e la superficie di varie tipologie di solidi.

Cosa sono

Alcuni solidi


Cosa sono il volume e la superficie?


Il volume equivale allo spazio occupato dal solido, mentre la superficie è la somma delle aree delle varie figure che lo delimitano.


Indicheremo la superficie di tutte le basi del solido come \(S_b\), mentre chiameremo la superficie laterale \(S_l\). La superficie totale sarà indicata come \(S_t\) o come \(S\) se è sottointeso che si tratti di essa.



Volumi e superfici di alcuni solidi


Iniziamo con il cubo:

Superficie e volume dei solidi

La sua superfice è formata da \(6\) facce. Se chiamiamo il suo lato \(l\), l'area di ognuna di esse sarà pari a \(l^2\), dunque la superfice del cubo sarà:


\(S=6l^2\)


Sappiamo bene, poi, che il volume del cubo vale \(l^3\):


\(V=l^3\)


Passiamo quindi al parallelopipedo:

Superficie e volume dei solidi 1

Esso avrà dimensioni \(a,b\) e \(c\). La sua superfice sarà formata da due basi di area \(ab\) e da altri \(4\) rettangoli con area, però, pari a \(bc\).


Dunque la sua superficie di base sarà:


\(S_b = 2ab\)


e quella laterale sarà:


\(S_l=4bc\)


Dunque la superficie totale equivale a:


\(S_t= S_b + S_l = 2ab + 4bc \)


Il suo volume è invece pari al prodotto delle dimensioni:


\(V=abc\)


Passiamo quindi al prisma retto. Esso è un prisma dove le due basi sono esattamente una sopra l'altra e dunque i rettangoli che le uniscono formano angoli di \(90^{\circ}\) con esse:

Superficie e volume dei solidi 1

L'area della base varia da prisma in prisma, quindi ci limiteremo a chimarla \(A_b\), ottenendo quindi:


\(S_b = 2A_b\)


Per la superficie laterale, invece, abbiamo qualcosa di più interessante. Essa è infatti uguale alla somma delle aree dei rettangoli. Ognuna di esse equivale a \(hl_n\), dove \(l_n\) è l'ennesimo lato della base.


Se quindi sommiamo tutte le aree e raccogliamo \(h\), otteniamo:


\(S_l = hl_1 + hl_2 + \)\(...+ hl_n = h(l_1 +l_2 \)\(+... l_n)\)


Ovvero è uguale ad \(h\) per la somma di tutti i lati della base. Quest'ultima, però, è uguale proprio al perimetro della base. Se chiamiamo il suo perimetro \(2P_b\) avremo:


\(S_l = h\cdot 2P_b\)


Il suo volume invece sarà uguale alla base per l'altezza:


\(V= A_bh\)


Andiamo avanti con la piramide retta:

Superficie e volume dei solidi 3

E' detta piramide retta perché il segmento che congiunge il vertice con il centro della base deve formare un'angolo retto con quest'ultima:

Superficie e volume dei solidi 4

La sua superficie di base dipende dalla forma di essa: può essere un triangolo, un quadrato, un esagono e così via, dunque la chiameremo \(S_b\) e basta.


La superficie laterale, invece, equivale alla somma delle aree dei triangoli, che dovranno essere tutte uguali. Tracciamo l'altezza \(a\) rispetto al lato della base \(l\):

Superficie e volume dei solidi 5

Questa altezza viene chiamata apotema e per questo viene indicata con la lettera \(a\). Se andiamo a sommare tutti ed \(n\) le aree, otteniamo:


\(S_l = {anl\over 2}\)


Notiamo però che \(nl\) equivale al perimetro \(2P_b\) della base. Otteniamo quindi:


\(S_l = {a \cdot 2P_b\over 2}\)


Infine, se chiamiamo l'altezza della piramide \(h\), il suo volume sarà:


\(V= {A_bh\over 3}\)


Passiamo ora a qualche solido più curvo. La superficie di base del cilindro è formata da cerchi di raggio \(r\), avremo dunque:


\(S_b= 2\pi r^2\)


Per la superfice laterale, invece, se la srotoliamo:

Superficie e volume dei solidi 6

Otteniamo un rettangolo con altezza pari all'altezza del cilindro e con base uguale alla circonferenza del cerchio. Avremo quindi:


\(S_l = 2\pi r l\)


Infine, il volume è uguale all'area della base \(A_b\) per l'altezza, ovvero:


\(V= h A_b = h\pi r^2\)


Se invece prendiamo un cono:

Superficie e volume dei solidi 7

La sua superficie di base sarà uguale all'area del cerchio, ovvero a:


\(S_b= \pi r^2\)


Se andiamo ad "effettuare un taglio" sull'apotema e lo srotoliamo:

Superficie e volume dei solidi 8

Otteniamo un triangolo con altezza pari all'apotema e con base pari alla circonferenza. Di conseguenza, la superficie laterale sarà uguale a:


\(S_l = \pi r a\)


Il volume, invece, equivale alla superficie di base moltiplicata per l'altezza diviso \(3\):


\(V= {h \pi r^2 \over 3}\)


Se avete fatto attenzione, avrete probabilmente notato molte analogie tra il parallelopipedo e il cilindro e tra la piramide e il cono. Queste analogie possono aiutarvi a ricordare le formule.


Vediamo quindi l'ultimo solido rimasto di questa lezione: la sfera.

Superficie e volume dei solidi 9

La sua superficie è uguale a:


\(S= 4\pi r^2\)


Mentre il suo volume è pari a:


\(V= {4\over 3} \pi r^3\)