Successioni

Di seguito analizzeremo le successioni.

Cos'è

Classificazione

Limite


Cos'è una successione?


Una successione è una sequenza ordinata. Noi ci limiteremo a guardare a successioni di numeri reali, che quindi vengono chiamate successioni numeriche ma potremmo avere anche successioni di funzioni o di altri oggetti matematici.


Un modo per indicare una successione è tramite una legge che definisce l'ennesimo termine di essa, che chiamremo \(a_n\). Il primo termine della successione è \(a_0\), dopo di lui c'è \(a_1\), poi \(a_2\) e così via.


Vediamo un esempio:


La successione \(S\) definita da:


\(a_n = 2n\)


E' formata da tutti i numeri pari non negativi:


\(S = {0,2,4,6,8,10,...}\)


Possiamo indicare una successione come la sua legge scritta dentro parentesi graffe. Nell'esempio di prima, quindi, avremo:


\(S = \left\{ 2n \right\}\)


Vediamo ora qualche classificazione delle successioni:




Classificazione


Una successione è detta limitata inferiormente se esiste un numero reale \(m\) tale che \(m\) è minore o uguale di tutti i termini della successione.


La successione \(\left\{ 2n\right\}\) dell'esempio di prima è dunque limitata inferiormente perché tutti i suoi termini sono maggiori o uguali a \(0.\)


Una successione è detta limitata superiormente se esiste un numero reale \(M\) tale che \(M\) è maggiore o uguale a tutti i termini della successione.


Per esempio, la successione \(\left\{ {1\over n+1}\right\}\) è limitata superiormente perché tutti i suoi termini sono minori o uguali ad \(1.\)


Se una successione è sia limitata inferiormente che limitata superiormente, si dice che la successione è limitata. Per esempio, la successione \(\left\{ \cos(n) \right\}\) è limitata perché il coseno è sempre compreso tra \(1\) e \(-1\).


Una successione si dice monotona crescente se ogni termine è maggiore o uguale di quello precedente. In altre parole, se:


\(a_{n+1} \geq a_{n} \space \forall n\)


Dove \(\forall n\) significa "per tutti gli \(n\)". Quindi, la successione \(\left\{ 2n \right\}\) è monotona crescente.


Una successione di dice, poi, monotona strettamente crescente se ogni termine è maggiore di quello precedente. Ovvero se:


\(a_{n+1} > a_{n} \space \forall n\)


Quindi \(\left\{ 2n \right\}\) non solo è una successione monota crescente, ma è anche monotona strettamente crescente.


Analogamente, una successione si dice monotona decrescente se ogni termine è minore o uguale a quello precedente. In altre parole, se:


\(a_{n_1} \leq a_{n} \space \forall n\)


Quindi, ad esempio, la successione \(\left\{ {1\over n+1}\right\}\) è una successione monotona decrescente.


Infine, una successione si dice monotona decrescente se ogni termine è minore di quello precedente. Ovvero se:


\(a_{n+1} < a_n \space \forall n\)


Dunque, la successione \(\left\{ {1\over n+1}\right\}\) oltre ad essere una successione motona decrescente è anche motona strettamente decrescente.


Appare logico che una successione monotona strettamente crescente è sempre anche monotona crescente, però ci sono successioni monotoni crescenti che non sono anche monotone strettamente crescenti.


Un esempio è la successione di Fibonacci. Probabilmente già la conoscete, ma se non vi ricordate come viene definita, la sua legge afferma che l'ennesimo termine è dato dalla somma dei due precedenti e \(a_0=0\) e \(a_1=1\).


Bisogna infatti dare i primi termini perché altrimenti non si saprebbe da dove partire. Potete giocare cambiando i punti di partenza ed osservando cosa ottenete.


Tornando a Fibonacci, l'ennesimo termine della successione viene definito come:


\(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\) se \(n >1\). Se \(n=1\) abbiamo \(a_n=1\) e se \(n=0\) abbiamo \(a_n=0\).


Utilizzando questa legge, otteniamo che i primi termini della successione sono:


\(0,1,1,2,3,5,8,13,21,...\)


Anche se aumentando \(n\) i termini aumentano abbastanza velocemente, notiamo che il terzo termine è uguale al secondo. Dunque la condizione che tutti i termini siano maggiori di quelli precedenti non è verificata.


E' però vero che ogni termine è maggiore o uguale a quello precedente, dunque si tratta di una successione monotona crescente ma non monotona strettamente crescente.


Si dice che una successione possiede una proprietà definitivamente se esiste un certo termine \(a_n\) tale questa proprietà viene soddisfatta da tutti i termini successivi ad esso.


Quindi, la successione di Fibonacci è definitivamente monotona strettamente crescende perché tutti i termini dopo il terzo soddisfano la sua condizione.



Limite di una successione


Il limite di una successione ci dice come la successione si comporta quando \(n\) tende ad infinito. Se non avete molta familiarità con il concetto di limite, vi consigliamo di dare un'occhiata alla nostra lezione su di essi, anche se non è fondamentale per questa lezione.


In altre parole, vogliamo vedere se i termini della successione continuano a crescere o a diminuire o se si stabilizzano intorno ad un certo valore o se si comporta in qualche altro modo strano. Vediamo meglio questi quattro casi:


Se i termini della successione continuano a crescere sempre di più e quindi, preso qualsiasi numero reale \(M\), esiste un termine della successione maggiore di esso, si dice che la successione diverge a \(+\infty\) e si scrive:


\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = + \infty\)


Ad esempio, la successione \(\left\{ 2n \right\}\) diverge a \(+\infty\) perché i suoi termini aumentano sempre di più e preso qualsiasi numero reale, c'è sempre un numero pari maggiore di esso.


Se, invece, i termini della successione continuano a diminuire sempre di più, e quindi preso qualsiasi numero reale \(m\), esiste un termine della successione minore di esso, si dice che la successione diverge a \(-\infty\) e si scrive:


\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = - \infty\)


Ad esempio, la successione \(\left\{ -2n \right\}\) diverge a \(-\infty\) perché i suoi termini diminuiscono sempre di più e preso qualsiasi numero reale, c'è sempre un numero pari negativo minore di esso.


Se invece i numeri vanno a stabilizzarsi intorno ad un certo valore \(l\), si dice che la successione converge ad \(l\) e si scrive:


\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = l\)


Matematicamente, esprimiamo il concetto di "stabilizzarsi" nel seguente modo:


La successione converge ad \(l\) se, preso qualsiasi numero reale positivo \(\epsilon\) (è una lettera greca e si legge "epsilon"), la successione possiede definitivamente la proprietà: \(|a_n -l|<\epsilon\).


Ricordiamo che una successione possiede una proprietà definitivamente se esiste un termine tale che essa è verificata per tutti i termini successivi ad esso.


Analizziamo cosa significa la disequazione della proprietà:


Ci dice che il modulo della differenza del nostro termine ed \(l\) è sempre minore di \(\epsilon\) per tutti i termini dopo di esso.


Siccome \(\epsilon\) è piccolo, dire che la loro differenza è minore di esso, è come dire che il nostro termine è molto molto vicino ad \(l\).


Dunque, se una successione converge ad un numero \(l\), significa che dopo un certo termine, quelli successivi si avvicinano sempre di più a questo valore.


Quindi, ad esempio, la successione \(\left\{ {1\over n+1}\right\}\) converge a \(0\) perché i suoi termini si avvicinano sempre di più a \(0.\)


Infine, se una successione non verifica nessuno dei precedenti casi, si dice che è indeterminata.


Ad esempio, se comincia ad oscillare tra due valori distinti, è indeterminata.


Infatti, la successione \(\left\{ {(-1)^n} \right\}\) oscilla in continuazione tra \(1\) e \(-1\) ed è dunque indeterminata.