Successioni

Cos'è una successione?

Una successione è una sequenza ordinata. Noi ci limiteremo a guardare a successioni di numeri reali, che quindi vengono chiamate successioni numeriche ma potremmo avere anche successioni di funzioni o di altri oggetti matematici.

Un modo per indicare una successione è tramite una legge che definisce l'ennesimo termine di essa, che chiamremo a_n. Il primo termine della successione è a_0, dopo di lui c'è a_1, poi a_2 e così via.

Vediamo un esempio:

La successione S definita da:

a_n = 2n

E' formata da tutti i numeri pari non negativi:

S = {0,2,4,6,8,10,...}

Possiamo indicare una successione come la sua legge scritta dentro parentesi graffe. Nell'esempio di prima, quindi, avremo:

S = \left\{ 2n \right\}

Vediamo ora qualche classificazione delle successioni:

Classificazione

Una successione è detta limitata inferiormente se esiste un numero reale m tale che m è minore o uguale di tutti i termini della successione.

La successione \left\{ 2n\right\} dell'esempio di prima è dunque limitata inferiormente perché tutti i suoi termini sono maggiori o uguali a 0.

Una successione è detta limitata superiormente se esiste un numero reale M tale che M è maggiore o uguale a tutti i termini della successione.

Per esempio, la successione \left\{ {1\over n+1}\right\} è limitata superiormente perché tutti i suoi termini sono minori o uguali ad 1.

Se una successione è sia limitata inferiormente che limitata superiormente, si dice che la successione è limitata. Per esempio, la successione \left\{ \cos(n) \right\} è limitata perché il coseno è sempre compreso tra 1 e -1.

Una successione si dice monotona crescente se ogni termine è maggiore o uguale di quello precedente. In altre parole, se:

a_{n+1} \geq a_{n} \space \forall n

Dove \forall n significa "per tutti gli n". Quindi, la successione \left\{ 2n \right\} è monotona crescente.

Una successione di dice, poi, monotona strettamente crescente se ogni termine è maggiore di quello precedente. Ovvero se:

a_{n+1} > a_{n} \space \forall n

Quindi \left\{ 2n \right\} non solo è una successione monota crescente, ma è anche monotona strettamente crescente.

Analogamente, una successione si dice monotona decrescente se ogni termine è minore o uguale a quello precedente. In altre parole, se:

a_{n_1} \leq a_{n} \space \forall n

Quindi, ad esempio, la successione \left\{ {1\over n+1}\right\} è una successione monotona decrescente.

Infine, una successione si dice monotona decrescente se ogni termine è minore di quello precedente. Ovvero se:

a_{n+1} < a_n \space \forall n

Dunque, la successione \left\{ {1\over n+1}\right\} oltre ad essere una successione motona decrescente è anche motona strettamente decrescente.

Appare logico che una successione monotona strettamente crescente è sempre anche monotona crescente, però ci sono successioni monotoni crescenti che non sono anche monotone strettamente crescenti.

Un esempio è la successione di Fibonacci. Probabilmente già la conoscete, ma se non vi ricordate come viene definita, la sua legge afferma che l'ennesimo termine è dato dalla somma dei due precedenti e a_0=0 e a_1=1.

Bisogna infatti dare i primi termini perché altrimenti non si saprebbe da dove partire. Potete giocare cambiando i punti di partenza ed osservando cosa ottenete.

Tornando a Fibonacci, l'ennesimo termine della successione viene definito come:

a_n = a_{n-1} + a_{n-2} se n >1. Se n=1 abbiamo a_n=1 e se n=0 abbiamo a_n=0.

Utilizzando questa legge, otteniamo che i primi termini della successione sono:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,...

Anche se aumentando n i termini aumentano abbastanza velocemente, notiamo che il terzo termine è uguale al secondo. Dunque la condizione che tutti i termini siano maggiori di quelli precedenti non è verificata.

E' però vero che ogni termine è maggiore o uguale a quello precedente, dunque si tratta di una successione monotona crescente ma non monotona strettamente crescente.

Si dice che una successione possiede una proprietà definitivamente se esiste un certo termine a_n tale questa proprietà viene soddisfatta da tutti i termini successivi ad esso.

Quindi, la successione di Fibonacci è definitivamente monotona strettamente crescende perché tutti i termini dopo il terzo soddisfano la sua condizione.

Limite di una successione

Il limite di una successione ci dice come la successione si comporta quando n tende ad infinito. Se non avete molta familiarità con il concetto di limite, vi consigliamo di dare un'occhiata alla nostra lezione su di essi, anche se non è fondamentale per questa lezione.

In altre parole, vogliamo vedere se i termini della successione continuano a crescere o a diminuire o se si stabilizzano intorno ad un certo valore o se si comporta in qualche altro modo strano. Vediamo meglio questi quattro casi:

Se i termini della successione continuano a crescere sempre di più e quindi, preso qualsiasi numero reale M, esiste un termine della successione maggiore di esso, si dice che la successione diverge a +\infty e si scrive:

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = + \infty

Ad esempio, la successione \left\{ 2n \right\} diverge a +\infty perché i suoi termini aumentano sempre di più e preso qualsiasi numero reale, c'è sempre un numero pari maggiore di esso.

Se, invece, i termini della successione continuano a diminuire sempre di più, e quindi preso qualsiasi numero reale m, esiste un termine della successione minore di esso, si dice che la successione diverge a -\infty e si scrive:

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = - \infty

Ad esempio, la successione \left\{ -2n \right\} diverge a -\infty perché i suoi termini diminuiscono sempre di più e preso qualsiasi numero reale, c'è sempre un numero pari negativo minore di esso.

Se invece i numeri vanno a stabilizzarsi intorno ad un certo valore l, si dice che la successione converge ad l e si scrive:

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = l

Matematicamente, esprimiamo il concetto di "stabilizzarsi" nel seguente modo:

La successione converge ad l se, preso qualsiasi numero reale positivo \epsilon (è una lettera greca e si legge "epsilon"), la successione possiede definitivamente la proprietà: |a_n -l|<\epsilon.

Ricordiamo che una successione possiede una proprietà definitivamente se esiste un termine tale che essa è verificata per tutti i termini successivi ad esso.

Analizziamo cosa significa la disequazione della proprietà:

Ci dice che il modulo della differenza del nostro termine ed l è sempre minore di \epsilon per tutti i termini dopo di esso.

Siccome \epsilon è piccolo, dire che la loro differenza è minore di esso, è come dire che il nostro termine è molto molto vicino ad l.

Dunque, se una successione converge ad un numero l, significa che dopo un certo termine, quelli successivi si avvicinano sempre di più a questo valore.

Quindi, ad esempio, la successione \left\{ {1\over n+1}\right\} converge a 0 perché i suoi termini si avvicinano sempre di più a 0.

Infine, se una successione non verifica nessuno dei precedenti casi, si dice che è indeterminata.

Ad esempio, se comincia ad oscillare tra due valori distinti, è indeterminata.

Infatti, la successione \left\{ {(-1)^n} \right\} oscilla in continuazione tra 1 e -1 ed è dunque indeterminata.