Scomposizione dei polinomi

Di seguito vedremo i metodi.

R. totale

R. parziale

Prodotti not.

Trinomio not.


Scomposizione dei polinomi


Molto spesso, può capitare di ritrovarsi a fare calcoli con polinomi di grado molto alto e che sono quindi molto difficili da maneggiare. Scomporre un polinomio consiste semplicemente nel riscrivere questo come prodotto tra polinomi di grado inferiore in modo da semplificare molto i calcoli.


Esempi:


•    \(x^2-4 \longrightarrow (x-2)(x+2)\)


•    \(3a^3-24 \longrightarrow 3(a-2)(a^2+2a+4)\)


•    \(-6x+x^2+9\longrightarrow (x-3)^2\)



Metodi di scomposizione


Per scomporre un polinomio ci sono varie alternative che sono più o meno frequenti a seconda dei casi.


Il metodo più frequente è quello di raccoglimento di uno o più fattori ma sono anche molto utili il metodo di Ruffini, a cui abbiamo dedicato una lezione apposita che trovate qui, la regola del trinomio notevole (o speciale) e le regole dei prodotti notevoli.


Di seguito troverete una spiegazione dettagliata di ogni metodo.



Raccoglimento totale (o a fattore comune)


Il raccoglimento totale è una tecnica di scomposizione dei polinomi che permette di raccogliere un fattore comune (se presente) tra tutti i termini di un polinomio.


Per effettuare un raccoglimento totale bisogna prima verificare se i termini del polinomio abbiamo uno o più fattori comuni e effettuare la divisione tra il polinomio e questi fattori.


Una volta fatto questo basterà riscrivere il polinomio come prodotto tra i fattori comuni e il risultato della divisione.


Il risultato sarà una moltiplicazione tra polinomio e monomio (o tra polinomio e polinomio in presenza di \(2\) o più fattori comuni).


Esempi:


•   \(6x^2-2x+4x^4 \longrightarrow 2x(3x-1+2x^2)\)   Fattori comuni: \(2x\)


•   \(x^3-x^2-x \longrightarrow x(x^2-x-1)\)   Fattore comune: \(x\)


•   \(3ab-4a^2b^2+ab \longrightarrow ab(3-4ab+1)\)   Fattori comuni: \(ab\)


•   \(2x-4y+6 \longrightarrow 2(x-2y+3)\)   Fattore comune: \(2\)



Raccoglimento parziale


Il raccoglimento parziale consiste nel dividere il polinomio in coppie di termini (il polinomio deve avere un numero pari di termini) con uno o più fattori in comune, raccogliere i fattori in comune in ogni coppia e poi raccogliere i fattori in comune del nuovo polinomio (se non si può raccogliere non si può svolgere il raccoglimento parziale).


Può suonare complicato ma in realtà si tratta di \(3\) soli passaggi:


1)    Suddivisione in coppie (in base ai fattori in comune)

2)    Raccoglimento dei fattori all’interno delle coppie

3)    Raccoglimento dei fattori tra tutte le coppie


Ecco alcuni esempi:


•    \(4x^2-2x-2xy+y\)\( \longrightarrow 2x(2x-1)-y(2x-1)\)\( \longrightarrow (2x-1)(2x-y)\)


•    \(3ac-c+6a-2\)\( \longrightarrow c(3a-1)+2(3a-1) \)\( \longrightarrow (3a-1)(c+2)\)


•    \(x^2+2x^3-3-6x \)\( \longrightarrow x^2(1+2x)-3(1+2x) \)\( \longrightarrow (1+2x)(x^2-3)\)


Questo semplifica incredibilmente i calcoli ed è molto facile da applicare ma ci vuole occhio per riconoscere i prodotti notevoli, per questo è molto importante averli tutti bene in mente (la nostra spiegazione su i prodotti notevoli qui).



Scomposizione con i prodotti notevoli


Questa tecnica di scomposizione consiste nel riconoscere un polinomio come prodotto notevole e riscriverlo come i fattori del prodotto notevole.


Ecco alcuni esempi:


•    \(25-10x+x^2 \) \( \longrightarrow \) \((x-5)^2\)   - Quadrato di un binomio


•    \(x^3+8 \) \( \longrightarrow \) \((x+2)(x^2-2x+4)\)   - Somma di due cubi


•    \(4x^2+9+y^2+12x+4xy+6y\) \( \longrightarrow \) \((2x+3+y)^2\)   - Quadrato di un trinomio



Regola del trinomio notevole


La regola del trinomio notevole si usa per scomporre alcuni trinomi particolari ed è particolarmente veloce se ci si prende la mano.


I trinomi che possono essere scomposti con questa regola sono quelli del tipo:

\[x^2+sx+p\]

Hanno come coefficiente del termine al quadrato \(1\) ed è spesso possibile (non sempre) scomporlo trovando \(2\) numeri la cui somma da \(s\) e il cui prodotto è \(p\).


Per trovare i due numeri che ci permettono di scomporre il polinomio si può impostare un sistema, anche se spesso le soluzioni si trovano a colpo d’occhio.


\(\begin{cases}a+b = s\\a\cdot b = p\end{cases}\)


Trovate le soluzioni del sistema ci basterà riscrivere il polinomio come:

\[(x+a)(x+b)\]

Esempi:


•    \((x+a)(x+b)\)


•    \(x^2-x-2 \longrightarrow (x-2)(x+1)\)


•    \(x^2+6x+5 \longrightarrow (x+1)(x+5)\)