Molto spesso, può capitare di ritrovarsi a fare calcoli con polinomi di grado molto alto e che sono quindi molto difficili da maneggiare. Scomporre un polinomio consiste semplicemente nel riscrivere questo come prodotto tra polinomi di grado inferiore in modo da semplificare molto i calcoli.
Esempi:
• \(x^2-4 \longrightarrow (x-2)(x+2)\)
• \(3a^3-24 \longrightarrow 3(a-2)(a^2+2a+4)\)
• \(-6x+x^2+9\longrightarrow (x-3)^2\)
Per scomporre un polinomio ci sono varie alternative che sono più o meno frequenti a seconda dei casi.
Il metodo più frequente è quello di raccoglimento di uno o più fattori ma sono anche molto utili il metodo di Ruffini, a cui abbiamo dedicato una lezione apposita che trovate qui, la regola del trinomio notevole (o speciale) e le regole dei prodotti notevoli.
Di seguito una spiegazione dettagliata di ogni metodo.
Il raccoglimento totale è una tecnica di scomposizione dei polinomi che permette di raccogliere un fattore comune (se presente) tra tutti i termini di un polinomio.
Per effettuare un raccoglimento totale bisogna prima verificare se i termini del polinomio abbiamo uno o più fattori comuni e effettuare la divisione tra il polinomio e questi fattori.
Una fatto questo basterà riscrivere il polinomio come prodotto tra i fattori comuni e il risultato della divisione.
Il risultato sarà una moltiplicazione tra polinomio e monomio (o tra polinomio e polinomio in presenza di \(2\) o più fattori comuni).
Esempi:
• \(6x^2-2x+4x^4 \longrightarrow 2x(3x-1+2x^2)\) Fattori comuni: \(2x\)
• \(x^3-x^2-x \longrightarrow x(x^2-x-1)\) Fattore comune: \(x\)
• \(3ab-4a^2b^2+ab \longrightarrow ab(3-4ab+1)\) Fattori comuni: \(ab\)
• \(2x-4y+6 \longrightarrow 2(x-2y+3)\) Fattore comune: \(2\)
Il raccoglimento parziale consiste nel dividere il polinomio in coppie di termini (il polinomio deve avere un numero pari di termini) con uno a più fattori in comune, raccogliere i fattori in comune in ogni coppia e poi raccogliere i fattori in comune del nuovo polinomio (se non si può raccogliere non si può svolgere il raccoglimento parziale).
Può suonare complicato ma in realtà si tratta di \(3\) soli passaggi:
1) Suddivisione in coppie (in base ai fattori in comune)
2) Raccoglimento dei fattori all’interno delle coppie
3) Raccoglimento dei fattori tra tutte le coppie
Ecco alcuni esempi:
• \(4x^2-2x-2xy+y\)\( \longrightarrow 2x(2x-1)-y(2x-1)\)\( \longrightarrow (2x-1)(2x-y)\)
• \(3ac-c+6a-2a\)\( \longrightarrow c(3a-1)+2(3a-1) \)\( \longrightarrow (3a-1)(c+2)\)
• \(x^2+2x^3-3-6x \)\( \longrightarrow x^2(1+2x)-3(1+2x) \)\( \longrightarrow (1+2x)(x^2-3)\)
Questo semplifica incredibilmente i calcoli ed è molto facile da applicare ma ci vuole occhio per riconoscere i prodotti notevoli, per questo è molto importante averli tutti bene in mente (la nostra spiegazione su i prodotti notevoli qui).
Questa tecnica di scomposizione consiste nel riconoscere un polinomio come prodotto notevole e riscriverlo come i fattori del prodotto notevole.
Ecco alcuni esempi:
• \(25-10x+x^2 \) \( \longrightarrow \) \((x-5)^2\) - Quadrato di un binomio
• \(x^3+8 \) \( \longrightarrow \) \((x+2)(x^2-2x+4)\) - Somma di due cubi
• \(4x^2+9+y^2+12x+4xy+6y\) \( \longrightarrow \) \((2x+3+y)^2\) - Quadrato di un trinomio
La regola del trinomio notevole si usa per scomporre alcuni trinomi particolari ed è particolarmente veloce se ci si prende la mano.
I trinomi che possono essere scomposti con questa regola sono quelli del tipo:
\[x^2+sx+p\]
Hanno come coefficiente del termine al quadrato \(1\) ed è spesso possibile (non sempre) scomporlo trovando \(2\) numeri che la cui somma da \(s\) e il cui prodotto è \(p\).
Per trovare i due numeri che ci permettono di scomporre il polinomio si può impostare un sistema, anche se spesso le soluzioni si trovano a colpo d’occhio.
\(\begin{cases}a+b = s\\a\cdot b = p\end{cases}\)
Trovate le soluzioni del sistema ci basterà riscrivere il polinomio come:
\[(x+a)(x+b)\]
Esempi:
• \((x+a)(x+b)\)
• \(x^2-x-2 \longrightarrow (x-2)(x+1)\)
• \(x^2+6x+5 \longrightarrow (x+1)(x+5)\)