Rombo
Di seguito analizzeremo il rombo
Cos'è un rombo?
Un rombo è un quadrilatero (cioè una figura con quattro lati) che ha tutti e quattro i lati uguali. Quelli riportati di seguito sono degli esempi di rombi:
Però anche il quadrato ha tutti i lati uguali, quindi il quadrato è un rombo? Sì, si tratta di un caso particolare di rombo in cui gli angoli che formano i lati sono angoli retti. Possiamo quindi pensare al quadrato come all'unione del rombo e del rettangolo.
Sono importantissime per il rombo le sue
Quella più lunga viene chiamata diagonale maggiore e si indica solitamente con la D, mentre quella più corta si chiama diagonale minore e si indica solitamente con la lettere d per far capire che è più piccola:
Infine, il lato viene solitamente indicato con la comune l:
Ok, ora siamo pronti per studiare come si calcola il perimetro e l'area del rombo:
Perimetro e area del rombo
Il perimetro è piuttosto facile se conosciamo il lato. Se infatti sono tutti uguali, avremo che il perimetro 2P sarà uguale a:
2P = l+l+l+l
Cioè:
2P = 4l
Quindi il perimetro è uguale a 4 volte il lato.
Se conosciamo le diagonali ma non il lato, nel prossimo capitolo vedremo come calcolarci il lato che poi userete per calcolare il perimetro. Prima, però, vediamo come si trova l'area del rombo.
Per l'area è un po' più complicato, ma non preoccupatevi, nulla di troppo difficile. Dobbiamo mettere il rombo dentro un rettangolo di altezza D e base d come nel grafico qui sotto:
Notiamo che le diagonali del rombo dividono il rettangolo in quattro rettangolini uguali:
Adesso notiamo che i lati del rombo divisono ogni rettangolini in due triangolini uguali:
Quindi l'area del triangolino è la metà di quella del rettangolino. Quindi l'area dei quattro triangolini del rombo è la metà di quella dei quattro rettangolini. Ma l'area dei quattro rettangoli è uguale all'area del rettangolo grande.
Quindi l'area del rombo è la metà di quella del rettangolo.
L'area del rettangolo si calcola come il prodotto della sua base per l'altezza, ovvero D \times d.
Quindi, siccome l'area A del rombo è la metà di quella del rettangolo, dobbiamo avere:
A = {D \times d \over 2}
Abbiamo dunque ottenuto che
Se quindi, per esempio, un rombo ha la diagonale maggiore lunga 8 cm e la diagonale minore lunga 6 cm, la sua area sarebbe uguale a:
A = {D \times d \over 2} = {8 \text{cm} \times 6 \text{cm} \over 2} = 24 \text{cm}^2
Ora, come avevamo promesso prima, dobbiamo vedere come si fa a calcolare il lato del rombo conoscendo le sue due diagonali:
Relazioni tra il lato e le diagonali del rombo
Supponiamo dunque di conoscere la diagonale maggiore D e quella minore d di un rombo e di voler trovare il suo lato. Come fare?
Prendiamo innazitutto il rombo e disegnamo le sue diagonali:
Notiamo che i triangoli che formano le diagonali, non sono triangoli qualsiasi, ma si trattano di triangoli rettangoli!
Guardiamo con più attenzione quello in alto a destra. Notiamo che il suo cateto minore è uguale alla metà della diagonale minore, il suo cateto maggiore è la metà del suo cateto maggiore e la sua ipotenusa è uguale al nostro lato l:
Possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora! Ricordiamoci un attimo che cosa dice: in un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Dunque dobbiamo avere:
l^2 = ({D\over 2})^2 + ({d\over 2})^2
Prendiamo ora la radice quadrata da entrambi i lati per isolare l:
l = \sqrt{({D\over 2})^2 + ({d\over 2})^2}
Se conosciamo invece un lato ed una delle diagonali e vogliamo trovarci l'altra, possiamo sempre usare il teorema di Pitagora ed isolare la lunghezza che vogliamo trovare.
Se quindi, per esempio, prendo il rombo dell'esempio di prima, che aveva diagonale maggiore lunga 8\text{cm} e diagonale minore lunga 6\text{cm}, come facciamo a calcolare il suo perimetro?
La metà della diagonale maggiore (cioè D\over 2) è uguale a 4\text{cm} e la metà della diagonale minore (cioè d\over 2) è 3\text{cm}, dunque dalla formula che abbiamo ottenuto prima utilizzando il teorema di Pitagora dobbiamo avere che:
l = \sqrt{(4\text{cm})^2 + (3\text{cm})^2} = 5\text{cm}
Il perimetro è uguale a 4 volte il lato, perciò abbiamo:
2P = 4l = 20 \text{cm}