Rette nello spazio

Abbiamo già visto più e più volte le rette nello spazio 2D, adesso però studiamo cosa succede quando le mettiamo in uno spazio 3D.

Intersezione

Vettori


Intersezione tra due piani


Iniziamo ricordandoci dalla lezione sui piani nello spazio che possiamo vedere una retta come l'intersezione tra due piani.


Come calcolarla però? Possiamo prendere le loro due equazioni e metterle a sistema.


Supponendo che il primo abbia come equazione:


\(ax+by+cz+d=0\)


e che quella del secondo sia:


\(a'x+b'y+c'z+d'=0\)


Possiamo descrivere la retta (che coincide con l'intersezione dei piani) come il sistema formato da quest'ultime:


\( \left\{\begin{matrix} ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{matrix}\right.\)


Questo metodo però non è molto pratico ed è poco intuitivo.


In alcuni casi può comunque risultare molto utile, ma vediamo un'altro metodo più conveniente.



Equazione con i vettori


Proviamo ad esprimere l'equazione di una retta utilizzando dei vettori. Questo ci permetterà anche di calcolare l'equazione di una retta passante per due punti.


Prendiamo un punto nello spazio: possiamo vederlo con un vettore con coda nell'origine e punta nel punto scelto:

Rette nello spazio 1

Chiamiamo questo vettore \(\overrightarrow{r}\). Supponiamo ora di voler trovare l'equazione che passa per questo punto \(P\) e per un altro punto \(T\):

Rette nello spazio 2

Se prendiamo un vettore \(\overrightarrow{v}\) che parte da \(P\) ed arriva a \(T\), possiamo notare che il vettore che parte dall'origine e arriva a \(T\) equivale alla somma di \(\overrightarrow{r}\) e \(\overrightarrow{v}\):

Rette nello spazio 3

Notiamo che moltiplicando \(\overrightarrow{v}\) per uno scalare (un numero) e sommandolo a \(\overrightarrow{r}\), possiamo ottenere tutti i punti della retta:

Rette nello spazio 4

Quindi possiamo identificare la retta come tutti i punti scrivibili nella forma:


\(\overrightarrow{r}+k\overrightarrow{v}\)


Dove \(k\) è un qualsiasi numero reale. Il vettore \(\overrightarrow{v}\) si può facilmente trovare facendo la differenza delle componenti (coordinate) dei punti \(T\) e \(P\).


Se per esempio \(T=(4,3,-1)\) e \(P=(1,5,-5),\) avremo:


\(\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}\)


e la retta che passa per questi due punti sarebbe dunque formata da tutti i punti esprimibili come:


\(\overrightarrow{r}+k\overrightarrow{v}\)


Ovvero:


\(\begin{pmatrix} 1\\ 5\\ -5 \end{pmatrix} + k\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}\)


Unendo tutto in un vettore otteniamo:


\(\begin{pmatrix} 1+3k\\ 5-2k\\ -5+4k \end{pmatrix}\)


Dunque avremo tutti i punti \(S\) del tipo:


\(S=(1+3k;5-2k;4k-5)\)


Come ottenere però da questo il sistema di equazioni della retta?


Vediamo come variano le coordinate del nostro punto al variare di \(S\):


\(\left\{\begin{matrix} x(k)=1+3k \\ y(k)=5-2k \\ z(k)=4k-5 \end{matrix}\right.\)


Possiamo isolare \(k\) in funzione di una delle variabili e sostituirlo nelle altre due equazioni. Prendiamo per esempio \(x\):


\(\left\{\begin{matrix} k={x-1 \over 3} \\ y=5-2k \\ z=4k-5 \end{matrix}\right.\)


Adesso sostituiamo nelle altre due per ottenere il sistema della retta:


\(\left\{\begin{matrix} y=5-2\cdot {x-1 \over 3} \\ z=4\cdot {x-1 \over 3}-5 \end{matrix}\right.\)


Semplificando e scrivendo le due equazioni in forma implicita:


\(\left\{\begin{matrix} 3y+2x-13=0 \\ 3z-4x+19=0 \end{matrix}\right.\)


Ed ecco ottenuto il sistema scritto per bene.