Razionalizzazione

Cos'è la razionalizzazione?

La razionalizzazione consiste nel semplificare una frazione con radicali al denominatore in maniera tale da rendere il denominatore privo di radicali.

Perché razionalizzare?

Prima di vedere come razionalizzare guardiamo al perché conviene razionalizzare. Le ragioni sono principalmente due:

La prima è che è molto più semplice fare i calcoli con una frazione razionalizzata. I minimi comuni denominatori, ad esempio, risultano molto più semplici.

Inoltre, per esempio nei problemi di fisica, si ha un’idea più chiara della quantità di cui si sta parlando.

Se ad esempio vi diciamo {1\over \sqrt{10}-3} è difficile stimare il suo valore, mentre se vi diciamo {\sqrt{10}+3 \over 1} che sarebbe \sqrt{10}+3 è molto più intuitivo.

Come razionalizzare

Partiamo da un caso particolare più semplice che è comunque molto comune:

Se abbiamo qualcosa del tipo: {A(x)\over \sqrt{n}}, dove A(x) è qualcosa che dipende da x; ma tanto di A(x) per ora non ce ne importa niente, noi vogliamo far scomparire quel \sqrt{n} dal denominatore (dove ovviamente n è un qualsiasi numero reale positivo).

Per risolvere questo problema usiamo un trucchetto che poi in generale ci permetterà di razionalizzare ogni tipo di frazione: sappiamo che moltiplicare qualcosa per 1 non cambia niente, su questo non ci piove. Però è anche vero che: {\sqrt{n}\over \sqrt{n}}=1. Dunque possiamo moltiplicare per \sqrt{n} \over \sqrt{n} la nostra frazione.

Così facendo otteniamo:

{A(x)\over \sqrt{n}}={A(x) \over \sqrt{n}} \cdot {\sqrt{n} \over \sqrt{n}} = {A(x)\cdot \sqrt{n} \over {\sqrt{n}}^2}={A(x)\cdot \sqrt{n} \over n}

Ed ecco che non c’è più alcun radicale al denominatore.

Il processo della razionalizzazione risiede in questo: moltiplicare per un qualcosa che è uguale ad 1 e semplificare.

Facciamo qualche esempio per chiarire meglio:

{3 \over \sqrt{5}}={3 \over \sqrt{5}} \cdot {\sqrt{5} \over \sqrt{5}}={3\sqrt{5} \over {\sqrt{5}}^2}={3\sqrt{5}\over 5}

{4x \over \sqrt{2}}={4x \over \sqrt{2}} \cdot {\sqrt{2}\over \sqrt{2}} = {4x\sqrt{2}\over 2}=2x\sqrt{2}=2\sqrt{2} x

{x^2 \over \sqrt{17}}={x^2 \over \sqrt{17}} \cdot {\sqrt{17} \over \sqrt{17}}= {\sqrt{17} x^2 \over 17}

Guardiamo al caso più generale che possiamo avere con le radici quadrate. Prendiamo una frazione del tipo:

{A(x)\over a+\sqrt{b}}

Proviamo ora a ricordare i prodotti notevoli (lezione qui ). Nella somma per differenza (a+b)\cdot(a-b)=a^2 - b^2 entrambi i termini vengono elevati al quadrato e questo è perfetto per far scomparire la nostra radice quadrata.

Al denominatore abbiamo a+\sqrt{b}, quindi per avere una somma per differenza dobbiamo moltiplicare per a-\sqrt{b}. Usiamo quindi lo stesso trucchetto del caso precedente:

{A(x)\over {a+\sqrt{b}}}={A(x)\over {a+\sqrt{b}}}\cdot {a-\sqrt{b}\over a-\sqrt{b}}= {A(x)\cdot (a-\sqrt{b})\over a^2-(\sqrt{b})^2}={A(x)\cdot (a-\sqrt{b})\over a^2-b}

Ed ecco che il nostro denominatore è libero dalle radici quadrate! Facciamo qualche esempio:

{1\over 4+ \sqrt{3}}= {1 \over 4+\sqrt{3}} \cdot {4-\sqrt{3}\over 4-\sqrt{3}}= {4-\sqrt{3}\over 4^2 - (\sqrt{3}^2)}= {4-\sqrt{3}\over 16-3}= {4-\sqrt{3}\over 13}

{1\over 3-\sqrt{8}}={1\over 3-\sqrt{8}} \cdot {3+\sqrt{8}\over 3+\sqrt{8}}= {3+\sqrt{8}\over 3^2 -(\sqrt{8})^2}= {3+\sqrt{8}\over 9-8}=3+\sqrt{8}

{x\over \sqrt{3}-1}={x\over \sqrt{3}-1}\cdot {\sqrt{3}+1 \over \sqrt{3}+1}={x(\sqrt{3}+1)\over (\sqrt{3})^2 -1^2}= {x(\sqrt{3}+1)\over 3-1}={x(\sqrt{3}+1)\over 2}

Quindi ecco come si risolve l’esempio proposto nell’introduzione sulla razionalizzazione:

{1\over \sqrt{10}-3}={1\over \sqrt{10}-3} \cdot {\sqrt{10}+3 \over \sqrt{10}+3}={\sqrt{10}+3\over (\sqrt{10})^2 -3^2}= {\sqrt{10}+3 \over 1}=\sqrt{10}+3

Potrebbero apparire A(x) più complicati, ma poi quello si tratta di semplificare. Per quanto riguarda la razionalizzazione con radici quadrate questo è tutto quello che dovete sapere.

Razionalizzazione con radicali

Possono comparire altri radicali al numeratore che non siano radici quadrate. Il procedimento è più o meno lo stesso e sono molto più rari da trovare, ma siccome si possono comunque trovare, vediamo velocemente come risolverli:

Un caso più semplice può essere quando abbiamo una frazione della forma:

{A(X)\over \sqrt[n]{a}}

Come nel caso della radice quadrata vogliamo moltiplicare per qualcosa che sia uguale ad 1 e che faccia scomparire quel radicale. Per fare ciò si dovrebbe ottenere qualcosa del tipo \sqrt[n]{a^n}. Per le proprietà dei radicali sappiamo che possiamo riscriverlo come \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}. Quindi, avendo \sqrt[n]{a}, proviamo a moltiplicare per {\sqrt[n]{a^{n-1}}\over \sqrt[n]{a^{n-1}}}:

{A(x)\over sqrt[n]{a}}={A(x)\over \sqrt[n]{a}}\cdot {\sqrt[n]{a^{n-1}}\over \sqrt[n]{a^{n-1}}}={A(x)\cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}\over a}

Se poi possiamo riscrivere a come b^m, si ottiene una formula più complicata ma che agevola i calcoli (si lavora con numeri più piccoli). Bisogna fare lo stesso procedimento di prima ma questa volta sfruttiamo il fatto che b=\sqrt[n]{b^n}=\sqrt[n]{b^{m+n-m}}=\sqrt[n]{b^m}\cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}. Quindi:

{A(x)\over \sqrt[n]{b^m}}={A(x)\over \sqrt[n]{b^m}}=\cdot {\sqrt[n]{b^{n-m}} \over \sqrt[n]{b^{n-m}}}={A(x)\cdot \sqrt[n]{b^{m-n}} \over b}

Facciamo qualche esempio:

{1\over \sqrt[3]{2}}={1\over \sqrt[3]{2}} \cdot {\sqrt[3]{2^2} \over \sqrt[3]{2^2}}={\sqrt[3]{2^2} \over \sqrt[3]{2^3}}={\sqrt[3]{4}\over 2}

{7\over \sqrt[5]{3}}={7\over \sqrt[5]{3}} \cdot {\sqrt[5]{3^4} \over \sqrt[5]{3^4}}={7\sqrt[5]{3^4} \over \sqrt[5]{3^5}}={7\sqrt[5]{81}\over 3}

{x+1 \over \sqrt[7]{16}}={x+1 \over \sqrt[7]{2^4}}= {x+1 \over \sqrt[7]{2^4}} \cdot {\sqrt[7]{2^3}\over \sqrt[7]{2^3}}= {(x+1)\cdot \sqrt[7]{2^3}\over \sqrt[7]{2^7}}={(x+1)\cdot \sqrt[7]{8} \over 2}