Una volta studiati i numeri razionali si può passare allo studio nei numeri irrazionali e quindi dei numeri reali. Per fare questo dobbiamo soffermarci sui radicali. Prima di parlare di loro, però, dobbiamo introdurre il concetto di radice e per farlo parleremo della sua forma più semplice, ovvero della radice quadrata.
In parole povere, la radice quadrata è l'operazione inversa all'elevazione al quadrato. Detto in termini matematici, la radice quadrata di un numero a è il numero positivo b tale che b^2=a e si scrive \sqrt{a}=b. Quindi la radice quadrata di un numero equivale a quel numero che elevato al quadrato restituisce il nostro numero di partenza.
Proponiamo qualche esempio di radice quadrata e del loro calcolo:
\sqrt{4}=2 perché 2^2=4
\sqrt{25}=5 perché 5^2=25
\sqrt{256}=16 perché 16^2=256
Notiamo che nella definizione precendente abbiamo detto che b deve essere positivo. Questo perché, anche se (-b)^2=b^2, per convenzione i matematici hanno deciso di prendere solo il risultato positivo . Infatti, nell'esempio di \sqrt{4}, anche -2 se elevato al quadrato fa 4, ma abbiamo preso solo 2 proprio per questa regola.
Non sempre la radice quadrata dà come risultato numeri interi. Ad esempio non c’è alcun numero intero che elevato al quadrato dia 17 e quindi \sqrt{17} non sarà un numero naturale ma, come vedremo in seguito, sarà un numero irrazionale. Come fare in questo caso? In matematica di solito si lascia la radice quadrata così com'è. Infine, se la radice quadrata di un numero è intera (come nel caso di \sqrt{4}) si dice che il numero (in questo caso 4) è un quadrato perfetto.
Finiamo di parlare delle radici quadrate parlando delle loro : quando eleviamo al quadrato un numero, stiamo semplicemente moltiplicando il numero per se stesso due volte.
Se il numero è positivo, guardando ai segni avremo \mathbf{\color{#1e76e9}{+}} moltiplicato per \mathbf{\color{#1e76e9}{+}} che da \mathbf{\color{#1e76e9}{+}} . Se è negativo avremo \mathbf{\color{#1e76e9}{-}} per \mathbf{\color{#1e76e9}{-}} che da anch’esso \mathbf{\color{#1e76e9}{+}} . Quindi il quadrato di qualsiasi numero reale è positivo.
Ma se tutti i numeri reali, quando elevati al quadrato, danno un numero positivo, come possiamo calcolare la radice quadrata di un numero negativo? Infatti abbiamo detto che \sqrt{a}=b se b^2=a dove abbiamo appena visto che b^2 è sempre positivo, mentre a è negativo. Quindi come può qualcosa di negativo essere uguale a qualcosa di positivo? Ovviamente questo non ha senso e l’equazione è infatti impossibile nei numeri reali. Infatti la radice quadrata di qualsiasi numero negativo non esiste nei numeri reali.
Come abbiamo detto precedentemente, la radice quadrata è un particolare tipo di radice. Ora, generalizzando, parliamo di radice n-esima. Non lasciatevi spaventare dal nome, è più facile di quanto sembra! La radice n-esima di un numero a è quel numero b tale che b^n=a e si scrive: \sqrt [n] {a} = b. Proponiamo qualche esempio per rendere chiaro il concetto:
\sqrt [3] {8}=2 perché 2^3=8
\sqrt[5]{243}=3 perché 3^5=243
\sqrt[10]{1024}=2 perché 2^{10}=1024
\sqrt[3]{125}=5 perché 5^3=125
La radice quadrata che abbiamo visto in precedenza è il caso in cui n è uguale a 2. Infatti la radice quadrata di a si scriverebbe \sqrt [2]{a} , ma in genere si sottintende il 2 in alto a sinistra per convenzione. Per avere una visione di insieme, guardiamo un attimo alla nomenclatura di una radice n-esima:
L’espressione \sqrt[n]{a} si chiama radicale, dove n è l’indice del radicale ed a è il radicando. È importante ricordare questi termini perché sono molto usati in ambito matematico.
Inoltre bisogna fare un ulteriore distinzione tra radici ad indice pari (dove l'indice è un numero pari) e radici ad indice dispari (dove l'indice è un numero dispari) perché hanno un paio di differenze significative:
Una radice ad indice pari esiste solo quando il radicando è positivo (\ge0). Altrimenti, come nel caso della radice quadrata (che infatti è una radice ad indice pari), non esiste. Invece una radice ad indice dispari esiste sempre, indipendentemente dal segno che ha il radicando. Questo perché un numero positivo elevato ad una potenza dispari dà come risultato un numero positivo, mentre uno negativo dà come risultato un numero negativo. Quindi non si presenta il problema che avevamo incontrato nella radice quadrata.
Quindi:
\sqrt[3]{-8} esiste ed è uguale a -2 perché (-2)^3=-8;
\sqrt[4]{-16} non esiste nei numeri reali perché l’indice del radicale è pari e il radicando è negativo.
In questa sezione del corso sui radicali andremo ad approfondire alcune propietà che vi risulteranno molto utili nella risoluzione degli esercizi. Queste sono:
Supponendo che il radicale esista, per la definizione di radice, è vera la seguente proprietà:
(\sqrt[n]{a})^n=a ad esempio (\sqrt[4]{3})^4=3
Se n è dispari possiamo portare il segno \mathbf{\color{#1e76e9}{-}} fuori dalla radice:
\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a} ad esempio \sqrt[7]{-4}=-\sqrt[7]{4}
Proprietà invariantiva:
Nel caso in cui il radicando è positivo o nullo, se moltiplichiamo l’indice e l’esponente del radicando per lo stesso numero otteniamo un radicale equivalente:
\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n \cdot m \space ]{a^{(p \cdot m)}} ad esempio \sqrt[5]{2^3}= \sqrt[5 \cdot 4 \space ]{2^{(3 \cdot 4)}} = \sqrt[20 \space]{4096}
Notiamo che ogni numero è come se fosse elevato alla prima, quindi anche se non appare nessun esponente in realtà è presente un 1 sottointeso (5=5^1) quindi, soddisfate le condizioni, potete usarla anche in questo caso. Ad esempio:
\sqrt[4]{5}= \sqrt[4 \cdot 3 \space ]{5^{(1 \cdot 3)}} = \sqrt[12 \space]{125}
Ricordatevi che il radicando deve essere positivo o nullo, altrimenti cambiereste il segno del radicale e non sarebbe vera l’uguaglianza. Se volete applicare questa proprietà ad un radicale con radicando negativo (e indice dispari!), potete usare la seconda proprietà che abbiamo elencato e portare il segno meno fuori dal radicale. Solo allora potrete usare l'invariantiva.
Utilizzando questa propietà possiamo anche semplificare i radicali. Se l’indice e l’esponente del radicando hanno un fattore comune, possiamo dividere entrambi per questo fattore. Ad esempio, consideriamo il radicale \sqrt[{12} \space \space ] {3^9}. L’indice (12) e l’esponente del radicale (9) hanno un divisore comune (3), quindi possiamo dividere entrambi per questo numero:
\sqrt[12]{3^9}=\sqrt[\frac{12}{3}]{3^{\frac{9}{3}}}=\sqrt[4]{3^3}
Il radicale che abbiamo ottenuto si dice irriducibile perché l’indice e l’esponente del radicale non hanno più alcun fattore comune e non è più semplificabile.
Concludiamo il capitolo con altre due propietà:
Se n è pari abbiamo:
\sqrt[n]{a^n} =|a| dove |a| è il modulo di a; ad esempio \sqrt[4]{{(-3)}^4} = |-3| = 3
Se n è dispari abbiamo:
\sqrt[n]{a^n}=a ad esempio \sqrt[7]{-3^7} = -3
Come nel caso dei numeri naturali e reali, è possibile eseguire operazioni anche con i radicali. In questa sezione vi spiegheremo le varie tecniche per poter risolvere qualsiasi tipo di esercizio!
Se i due radicali hanno lo stesso indice ed entrambi hanno radicandi positivi, la loro moltiplicazione è un radicale con stesso indice e come radicando il prodotto dei radicandi:
\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}
È molto più semplice di quanto sembra. Facciamo qualche esempio:
\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{2\cdot9}=\sqrt[3]{18}
\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{5\cdot 3}=\sqrt{15}
Vale la stessa equazione per la divisione: se due radicali hanno lo stesso indice ed entrambi hanno radicandi positivi, la loro divisione è un radicale con stesso indice e con radicando il quoziente dei radicandi:
{\sqrt[n]{a}\over \sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{a\over b}
Facciamo anche in questo caso qualche esempio:
{\sqrt{5} \over \sqrt{2}}=\sqrt{5\over 2}
{\sqrt[9]{12}\over \sqrt[9]{7}}=\sqrt[9]{12 \over 7}
Cosa fare se invece incontriamo due radicali, sempre con radicandi positivi, ma con indici diversi? In tal caso utilizziamo la proprietà invariantiva per portare tutto allo stesso indice e poi applichiamo le regole appena imparate per i radicali con lo stesso indice. Facciamo un esempio:
\sqrt{5} \cdot \sqrt[7]{3} \space
Il primo radicale ha indice uguale a 2 mentre il secondo a 7, dunque non possiamo usare la formula di prima. Usiamo la proprietà invariantiva per portare gli indici al loro minimo comune multiplo, in questo caso 14:
\sqrt{5^1}\cdot \sqrt[7]{3^1}= \sqrt[2\cdot7]{5^{1\cdot 7}}\cdot \sqrt[7\cdot 2]{3^{1\cdot2}}= \sqrt[14]{5^7}\cdot \sqrt[14]{3^2}
ed adesso possiamo applicare la nostra formula:
\sqrt[14]{5^7} \cdot \sqrt[14]{3^2}=\sqrt[14]{5^{7}\cdot 3^2}
Quindi abbiamo usato la proprietà invariantiva per portare tutti i radicali allo stesso indice. In questo modo abbiamo potuto usare la nostra formula per unire i due radicali in un unico radicale.
Possiamo usare lo stesso procedimento del paragrafo precedente per portare dentro o fuori un fattore dal segno di radice.
Per portare dentro un fattore basta ricordarsi che un numero è uguale alla sua radice prima:
\sqrt[1]{n}=n perché n^1=n, che sappiamo essere vero grazi alle proprietà delle potenze.
Questa dicitura di radice prima solitamente non è utilizzata, quindi non usatela, è solo per farvi comprendere il concetto che c’è dietro.
Quindi basta applicare il procedimento di prima. Facciamo un esempio:
2\sqrt[3]{5} =\sqrt[1\cdot 3]{2^{1\cdot 3}} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{8\cdot 5}= \sqrt[3]{40}
Per portare invece fuori un fattore dal segno di radice, si fa il procedimento opposto. Infatti se è vero che, se a e b sono maggiori di 0:
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}
Scambiandoli di lato abbiamo:
\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}
Talvolta può essere molto utile per semplificare un radicale, soprattutto se si conosce la fattorizzazione in fattori primi del radicando. Facciamo un esempio:
Vogliamo semplificare:
\sqrt[5]{224}
Sapendo che 224=32\cdot 7, possiamo riscriverla come:
\sqrt[5]{32\cdot 7}
Ma sapendo anche che 32=2^5 abbiamo:
\sqrt[5]{2^{5\cdot 7}}
Applicando la formula di prima dividiamo in due radicali:
\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{7}
Che si semplifica in:
2\cdot \sqrt[5]{7}
Quindi: \sqrt[5]{224}=2\sqrt[5]{7} che è un numero con cui solitamente è più facile lavorare.
Mentre per moltiplicare e dividere radicali ci sta un modo per semplificarli in un unico radicale, per la somma algebrica è più difficile.
Non possiamo infatti sommare due radicali, quindi li trattiamo come se fossero monomi o polinomi. L’espressione:
\sqrt{2}+\sqrt{3}
la lasciamo così.
Nel 99\% dei casi queste somme le consideriamo come fosse qualcosa del tipo:
x+y
Possiamo però sommare due radicali simili. Funziona proprio come per i monomi. Raccogliendo \sqrt[n]{b} otteniamo infatti la seguente formula:
a\sqrt[n]{b} + c\sqrt[n]{b}=(a+c)\sqrt[n]{b}
Esattamente come per i monomi vale che:
ax+bx=(a+b)x
Quindi facciamo qualche esempio:
2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}
9\sqrt[7]{2}-3\sqrt[7]{2}=6\sqrt[7]{2}
Talvolta si può raccogliere qualche fattore di due radicali che non sono radicali simili, ma nel 99\% dei casi il risultato è più complicato di quello che avevate prima, quindi conviene farlo soltanto in caso di particolari semplificazioni o se l’esercizio lo richiede. Ad esempio possiamo riscrivere:
\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{10}
Come:
\sqrt[3]{2\cdot 3}+\sqrt[3]{2\cdot 5}= \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{5}= \sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{5})
Come potete vedere la forma originaria era più semplice, ma magari se avevate la somma di questi due radicali e qualche altro multiplo di \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{5} avreste potuto raccoglierlo ed ottenere dei calcoli più semplici, ma dipende molto dal contesto in cui trovi questi radicali. Lavorandoci imparerete quando conviene e quando no.
Spesso per facilitare i calcoli conviene esprimere i radicali come potenze. Ma cosa significa? Leggendo questo paragrafo crediamo la risposta vi sarà chiara ed oltre a poter semplificare dei calcoli comprenderete meglio perché i radicali hanno le proprietà di cu abbiamo parlato prima.
Sappiamo bene cosa significa elevare un numero ad una potenza: significa moltiplicare a per se stesso per un numero un numero n di volte, dove a è la base della potenza e n l’esponente.
Cosa succede però se n non è un numero intero? Se n fosse uguale ad {1\over 2}, avrebbe senso l’elevamento a potenza? Per dare un senso a questo dobbiamo espandere la nostra definizione di potenza. Ricordiamoci una proprietà delle potenze:
(a^n)^m=a^{n\cdot m}
Sapendo questo, proviamo a capire cose significa l’espressione a^{1\over 2}. Per semplificare la frazione ed ottenere un numero intero, in maniera da tornare alla “normalità”, dobbiamo moltiplicare per 2 l’esponente e grazie alla proprietà di prima sappiamo che basta elevare tutto al quadrato. Quindi:
(a^{1\over 2} )^2=a^{{1\over 2}\cdot 2}=a^1=a
Dunque a^{1\over 2} è quel numero che, elevato al quadrato, ci ridà a; ma questa è proprio la definizione della radice quadrata. Quindi:
a^{1\over 2}=\sqrt{a}
Ed in generale:
a^{1\over n}=\sqrt[n]{a}
Ricordiamo infatti che nella radice quadrata l’indice è 2, ma nella scrittura lo si sottintende per convenzione.
Questo ci fa anche capire perché, come per le potenze, è piuttosto semplice moltiplicare o dividere due radici ma è complicato lavorare con una somma di radici.
Inoltre, usando sempre la formula (a^n )^m=a^{n\cdot m} si possono facilmente dimostrare molte delle proprietà dei paragrafi precedenti.
Usando alcune proprietà si ottiene anche che in generale:
a^{m\over n}=\sqrt[n]{a^m}
Infatti mettendo m=1 si ottiene proprio la formula precedente.
Se avete finito di leggere tutta la pagina dei radicali, ora dovreste avere le conoscenze per poter risolvere qualsiasi problema del vostro livello di studio con i radicali.
Trova il campo d'esistenza dell'espressione: \sqrt{1+x\over 2-x}
-1\leq x < 2
Affinchè la radice esista, il radicando deve essere maggiore o uguale a 0 . Da questo si ottiene la seguente disequazione fratta:
{1+x\over 2-x} \geq 0
Il numeratore si annula a x=-1 e il denominatore a x=2.
Da questo possiamo studiare il loro segno e tracciare il grafico dei segni. Così facendo si ottiene che la soluzione è:
-1\leq x < 2
Trova il campo d'esistenza dell'espressione: \sqrt{1\over y^2 -2y +1}
y\neq 1
Il radicando deve essere maggiore o uguale a 0. Da questo otteniamo la seguente disequazione fratta:
{1\over y^2 - 2y +1} \geq 0
Notiamo che y^2 -2y +1=(y-1)^2, quindi otteniamo:
{1\over (y-1)^2} \geq 0
Se y=1, il denominatore è 0 e la disequazione non è verificata.
Altrimenti, siccome è un quadrato, è positivo, dunque posso\ moltiplicare entrambi i lati per esso:)
1 \geq 0
Questa disequazione è sempre vera. Quindi tutti i valori di y vanno bene tranne quello che avevamo esluso prima, cioè 1. Per questo la soluzione è:
y\neq 1
Trova il campo d'esistenza dell'espressione: \sqrt{x^2 +2x -3}
x\leq -3 \vee x\geq 1
Dobbiamo avere il radicando maggiore o uguale a 0:
x^2 +2x -3 \geq 0
Risolviamo l'equazione associata:
x^2 + 2x -3 = 0
Le cui soluzioni sono:
x=-3 e x=1
Siccome il coefficiente del termine di seconda grado è maggiore di 0, il polinomio sarà sempre maggiore di 0 tranne per i valori tra le due soluzioni.
Dunque dobbiamo prendere i valori prima di -3 e quelli dopo 1:
x \leq -3 \vee x\geq 1
Trova il campo d'esistenza dell'espressione: \sqrt{4x + {4x-1 \over x-1}}
-{1\over 2}\leq x \leq {1\over 2} \vee x\geq 1
Il radicando deve essere maggiore di 0:
4x + {4x -1 \over x-1} \geq 0
Portiamo tutto allo stesso denominatore:
{4x^2 - 4x + 4x -1 \over x-1}\geq 0
{4x^2 -1 \over x-1}\geq 0
Fattorizziamo il numeratore siccome si tratta di una differenza di due quadrati:
{(2x-1)(2x+1)\over (x-1)}\geq 0
Ora tracciamo il grafico dei segni ed otteniamo che la soluzione è:
-{1\over 2}\leq x \leq {1\over 2} \vee x > 1
Trova il campo d'esistenza dell'espressione: \sqrt[7]{5\over a^3 +2a}
a\neq 0
Siccome è una radice di indice dispari, dobbiamo solo imporre il denominatore diverso da 0 :
a^3 + 2a \neq 0
a(a^2+2)\neq 0
Notiamo che a² +2 è la somma di un quadrato ed un numero maggiore di 0 , dunque non può mai essere uguale a 0 . Quindi, per la legge dell'annullamento del prodotto, l'unica condizione che abbiamo è:
a\neq 0
Trova il campo d'esistenza dell'espressione: \sqrt{|x| -1 \over (x+1)^2}
x < -1 \vee x \geq 1
Il radicando deve essere maggiore o uguale a 0 :
{|x| -1 \over (x+1)^2} \geq 0
Il denominatore, essendo un quadrato, è sempre maggiore di 0 tranne quando x =-1 . Quindi possiamo escludere questo valore e cancellare il denominatore:
|x| -1 \geq 0
|x| \geq 1
Quindi x\leq -1 \vee x\geq 1 , però ricordiamoci che avevamo escluso x =-1 , per cui la soluzione sarà:
x < -1 \vee x \geq 1
Trova il campo d'esistenza dell'espressione: \sqrt{5-x}-{1\over \sqrt{6+x}}
-6 < x \leq 5
Per la prima radice dobbiamo avere il radicando maggiore o uguale a 0 :
5-x \geq 0
x \leq 5
Per la seconda, siccome il denominatore non può essere uguale a 0 , il radicando deve essere maggiore di 0 :
6+x > 0
x > -6
Entrambe le condizioni devono essere rispettate contemporaneamente, quindi dobbiamo intersecarle. La soluzione finale sarà dunque:
-6< x\leq 5
Trova il campo d'esistenza dell'espressione: \sqrt[4]{{1\over x+2} -{1\over x-2}} + \sqrt[4]{x}
0\leq x < 2
Il radicando della prima radice deve essere maggiore o uguale a 0 :
{1\over x+2} - {1\over x-2} \geq 0
Portiamo tutto allo stesso denominatore:
{x-2-x-2\over x^2 -4}\geq 0
{-4\over x^2 -4}\geq 0
Dividiamo entrambi I lati per -4 , ma siccome è negativo, cambiamo il verso della disequazione:
{1\over x^2 -4}\leq 0
Questo è vero solo quando il denominatore è negativo, cioè minore di 0 :
x^2 -4 < 0
x^2 < 4
-2< x< 2
Per la seconda radice, il radicando deve essere maggiore o uguale a 0 :
x\geq 0
Dunque, intersecando le due soluzioni otteniamo:
0\leq x < 2
Trova il campo d'esistenza dell'espressione: {\sqrt{|x|}\over x-3} - \sqrt{|-x|}
x \neq 3
La radice del modulo di x esiste sempre, essendo quest'ultimo sempre maggiore o uguale a 0 .
Il denominatore deve essere diverso da 0 , per cui:
x-3 \neq 0
x\neq 3
Anche la seconda radice esiste sempre per lo stesso ragionamento della prima. Dunque la soluzione finale sarà:
x\neq 3
Trova il campo d'esistenza dell'espressione: \sqrt{5-x \over 10 - x^2 - 25} + \sqrt[6]{8-|x|}
5 < x \leq 8
Per la prima radice, il radicando deve essere maggiore o uguale a 0 :
{5-x \over -x^2 + 10x - 25}\geq 0
Notiamo che possiamo riscrivere il denominatore come:
-(x^2 -10x + 25) = -(x-5)^2
Possiamo dunque portare il meno al numeratore ed ottenere:
{x-5\over (x-5)^2}\geq 0
E questo è vero per x >5.
Per la seconda radice, il radicando deve essere maggiore o uguale a 0:
8-|x| \geq 0
|x| \leq 8
Che ha come soluzione:
-8\leq x \leq 8
Dunque, intersecando le due condizioni dobbiamo avere:
5< x \leq 8