Punti notevoli dei triangoli

Di seguito analizzeremo i punti notevoli dei triangoli.

Cosa sono

Baricentro

Ortocentro

Incentro

Circocentro

Excentro


Cosa sono i punti notevoli dei triangoli


I punti notevoli dei triangoli sono una serie di punti ottenuti dall'intersezione di alcuni segmenti particolari. Essi sono il baricentro, l'ortocentro, l'incentro, il circocentro e l'excentro.


Questi punti possiedono delle informazioni importanti ed alcune proprietà utili.


Studiamoli uno ad uno:



Baricentro


Il baricentro di un triangolo è il punto di incrocio delle sue mediane:

baricentro

Il baricentro si trova sempre all'interno del triangolo e divide le mediane in due parti. Quella che parte dal vertice è sempre lunga il doppio di quella che arriva alla base:

Proprietà baricentro

Avrete sentito parlare del baricentro in fisica quando studiavate l'equilibrio delle forze e si tratta dello stesso baricentro, non è una coincidenza.



Ortocentro


L'ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle sue altezze:

ortocentro

Al contrario del baricentro, l'ortocentro può trovarsi dentro o fuori del triangolo. La sua posizione ci da informazioni importanti sul triangolo in questione:


Se l'ortocentro si trova all'esterno del triangolo, allora il triangolo deve essere ottusangolo (cioè ha un angolo ottuso, ovvero maggiore di \(90^{\circ}\)).

ortocentro interno

Se invece l'ortocentro di trova all'interno del triangolo, allora il triangolo deve essere acutangolo (cioè non ha angoli superiori a \(90^{\circ}\)).

ortocentro esterno

Se, infine, l'ortocentro si trova su un vertice del triangolo, allora il triangolo deve essere retto in quel vertice.

ortocentro perimetro

Incentro


L'incentro di un triangolo è il punto di incontro delle sue bisettrici:

incentro

L'incentro è il centro della circonferenza iscritta nel triangolo:

incentro circonferenza

Infatti l'incentro dista ugualmente da tutti e tre i lati e si trova sempre all'interno del triangolo.


Se prendiamo il seguente triangolo:

incentro proprietà

Dobbiamo avere:


\(\overline{AI}: \overline{ID}= \overline{AB} : \overline{BD}\)


Inoltre, siccome \(CE\) e \(CD\) sono due segmenti che partono dallo stesso punto ed arrivano fino ad un punto di tangenza con la stessa circonfereza, per un teorema che abbiamo studiato sulle ciroconferenze, dobbiamo avere:


\(\overline{CE} = \overline{CD}\)


E per lo stesso ragionamento dobbiamo anche avere:


\(\overline{BD}= \overline{BF}\)


\(\overline{AF} = \overline{AE}\)



Circocentro


Il circocentro di un triangolo è il punto di incontro degli assi dei suoi segmenti:

circocentro

Ricordiamo che l'asse di un segmento è la retta che passa perpendicolarmente nel punto medio del segmento.


Il circocentro è anche il centro della circonferenza circoscritta al triangolo:

circocentro circonferenza

Come l'ortocentro, può trovarsi dentro o fuori del triangolo e la sua posizione ci da informazioni sul triangolo:


Se il circocentro si trova all'interno del triangolo, quest'ultimo deve essere acutangolo.


Se invece si trova all'esterno, deve essere ottusangolo.


Se invece si trova sul perimetro del triangolo, deve trattarsi di un triangolo rettangolo e il circocentro, in particolare, deve trovarsi sul punto medio dell'ipotenusa.



Excentro


L'excentro è un po' più difficile da definire. Si tratta infatti del punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni e della bisettrice dell'altro angolo:

excentro

Un triangolo avrà quindi \(3\) excentri. Ecco gli altri due del triangolo qui sopra:

excentro dell'altro lato excentro del terzo lato

Per comprendere di quale excentro stiamo parlando, quindi, dobbiamo dire rispetto a quale lato lo stiamo prendendo.


L'excentro è anche il centro della circonferenza tangente al lato rispetto al quale l'abbiamo preso e ai prolungamenti degli altri due lati:

excentro circonferenza