Le potenze hanno un paio di semplici ma molto importanti proprietà che ci aiutano molto nello svolgere i calcoli o nel risolvere i problemi. Cominciamo subito:
La moltiplicazione di due potenze con stessa base, è uguale ad una potenza con sempre la medesima base e con esponente la somma dei due esponenti:
\(n^a \cdot n^b = n^{a+b}\)
Vediamo qualche esempio:
\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7\)
\(5^{12} \cdot 5^3 = 5^{12+3}= 5^{15}\)
La moltiplicazione di due potenze con stesso esponente, è uguale ad una potenza con sempre il medesimo esponente e con il prodotto delle due basi come base:
\(n^a \cdot m^a = (n\cdot m)^a\)
Vediamo qualche esempio:
\(2^4 \cdot 2^5 = (2\cdot 5)^4 = 10^4\)
\(3^2 \cdot 2^2 = (3\cdot 2)^2 = 6^2\)
Queste due proprietà sono affiancate da quello che succede quando al posto che moltiplicare stiamo dividendo.
Nel caso della divisone tra due potenze con la stessa base, l'esponente sarà la differenza tra i due esponenti, quindi:
\(n^a : n^b = n^{a-b}\)
Possiamo ricordarcelo pensando che come la divisione è “il contrario” della moltiplicazione, la sottrazione lo è per l’addizione.
Facciamo qualche esempio:
\(2^3 : 2^2 = 2^{3-2}=2^1 =2\)
\(3^8 : 3^5 = 3^{8-5}=3^3\)
Nel caso della divisione tra potenze con lo stesso esponente, la base sarà il quoziente della divisione tra le basi:
\(n^a : m^a = (n:m)^a\)
Vediamo qualche esempio:
\(4^3 : 2^3 = (4:2)^3 = 2^3\)
\(20^7 : 2^7 = (20:2)^7 = 10^7\)
La potenza di una potenza è uguale ad una potenza con sempre la stessa base e con esponente il prodotto tra gli esponenti:
\((n^a)^b=n^{a\cdot b}\)
Vediamo a qualche esempio:
\((2^3)^5 = 2^{3\cdot 5}=2^{15}\)
\(4^7=(2^2)^7=2^{2\cdot7}=2^{14}\)