Prodotti notevoli

Cosa sono e quali sono.

Somma per dif.

Q. di binomio

C. di binomio

Q. di trinomio

Somma di cubi

Dif. di cubi


Cos’è un prodotto notevole?


I prodotti notevoli sono operazioni algebriche che permettono di velocizzare calcoli come moltiplicazioni o potenze di polinomi. In sostanza sono formule che ci permettono di passare dai fattori al risultato e viceversa risparmiandoci i lunghi calcoli che spesso possono portarci all’errore.


Di seguito riportiamo i prodotti notevoli più utili e i relativi procedimenti che ci portano alla risoluzione.



Prodotto di una somma per una differenza


Il prodotto di due binomi uguali ma con segno opposto al secondo termine è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo:

\[(a+b) \cdot (a-b) = a^2-b^2\]

Passaggi per la risoluzione:


\((a+ b) \cdot (a-b)=\)

\(=a^2-ab+ab-b^2=\)

\(=a^2-b^2\)


Esempio:


\((5a-3) \cdot (5a+3)=25a^2-9\)



Quadrato di un binomio


Un binomio elevato al quadrato è uguale al quadrato del primo termine più il doppio prodotto tra il primo e il secondo termine, più il quadrato del secondo termine:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Passaggi per la risoluzione:


\((a+b)^2=\)

\(=(a+b) \cdot (a+b)=\)

\(=a^2+ab+ba+b^2=\)

\(=a^2+2ab+b^2\)


Esempio:


\((2x-3z)^2= 4x^2-12xz+9z^2\)



Cubo di un binomio


Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine:

\[(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]

Passaggi per la risoluzione:


\((a+b)^3=\)

\(=(a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b)=\)

\(=(a^2+ab+ba+b^2) \cdot (a+b)=\)

\(=a^3+a^2b+ba^2+b^2a+\)\(a^2b+ab^2+b^2a+b^3=\)

\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)


Esempio:


\((2y-x)^3=\)\(8y^3-12xy^2+6x^2y+x^3\)



Quadrato di un trinomio


Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei termini, più tre doppi prodotti, il primo tra il primo e il secondo termine, il secondo tra il primo e il terzo termine e l’ultimo tra il secondo e il terzo termine.


\((a+b+c)^2=\)\(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)

Passaggi per la risoluzione:


\((a+b+c)^2=\)

\(=(a+b+c) \cdot (a+b+c)=\)

\(=a^2+ab+ac+ba+b^2+\)\(bc+ca+cb+c^2=\)

\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)


Esempio:


\(({1 \over 2}k+3b^2-5)^2\)\( = {1\over4}k^2+9b^2+25+\)\(3kb^2-5k-30b^2\)



Somma di due cubi


La scomposizione della somma di due cubi è data dal prodotto della somma delle basi per il falso quadrato del binomio (per falso quadrato del binomio si intende il secondo fattore di questo prodotto, si chiama così perché può essere facilmente confuso con un quadrato di un binomio).

\[a^3+b^3= (a+b) \cdot (a^2-ab+b^2)\]

Passaggi per la risoluzione:


\((a+b) \cdot (a^2-ab+b^2)=\)

\(=a^3-a^2b+ab^2+\)\(a^2b-ab^2+b^3=\)

\(=a^3+b^3\)


Esempio:


\(64a^3+27c^3\)\(=(4a+3c) \cdot (16a^2-12ac+9c^2)\)



Differenza di due cubi


La scomposizione della differenza di due cubi è data dal prodotto della differenza delle basi per il falso quadrato del binomio.

\[a^3-b^3=(a-b) \cdot (a^2+ab+b^2)\]

Passaggi per la risoluzione:


\((a-b) \cdot (a^2+ab+b^2)=\)

\(=a^3+a^2b+ab^2-\)\(a^2b-ab^2-b^3=\)

\(=a^3-b^3\)


Esempio:


\(8x^3-y^3\)\(=(2x-y) \cdot (4x^2+2xy+y^2)\)