Probabilità

Di seguito studieremo la probabilità.


Che cos'è la probabilità?


Quello di probabilità è un concetto piuttosto intuitivo e lo incontriamo spesso nella nostra vita quotidiana, ma proviamo a definirlo matematicamente:


Per esempio, se lanciamo una monetina potrà uscire testa o croce. Per sapere qual'è la probabilità che esca testa dobbiamo fare così:


Prendiamo l'insieme \(\Omega\) (insieme dei casi possibili). Il primo caso, dunque, è che esca testa, mentre il secondo è che esca croce.


Quindi possiamo scrivere il nostro insieme \(\Omega\) come:


\(\Omega = \{\)"esce testa", "esce croce"\(\}\)


Che possiamo anche schematizzarlo con:


\(\Omega = \{\)testa, croce\(\}\)


Dunque, prendiamo un evento \(E\) di \(\Omega\). Un evento viene definito come un qualsiasi sottoinsieme di \(\Omega\).


Intuitivamente, possiamo pensarlo come ad un qualcosa che può succedere.


Nel nostro esempio \(E\) potrebbe essere "esce testa".


"La probabilità dell'evento \(E\) viene definita come il numero di casi favorevoli diviso il numero di casi possibili."


I casi favorevoli sono gli eventi di \(\Omega\) che appartengono al sottoinsieme \(E\), o in altre parole quelli per i quali avviene \(E\), mentre i casi possibili sono tutti i casi possibili che possono succedere, ovvero tutti quelli che appartengono ad \(\Omega\).


Per indicare il numero di casi appartenenti ai due insiemi, possiamo usare il concetto di cardinalità di un insieme. Infatti la cardinalità \(|X|\) di un insieme \(X\) è uguale al numero di elementi che contiene.


Dunque possiamo riscrivere l'equazione definita prima a parole come:


\(P(E)={|E| \over |\Omega|}\)


Nel nostro esempio, quindi, avremo che \(|\Omega|=2\) (perchè abbiamo solo due casi possibili) mentre \(|E|=1\) (perchè abbiamo un solo caso favorevole), dunque:


\(P(E)={1 \over 2}\)


Che in percentuale sarebbe il \(50%\)


Vediamo un esempio più articolato:


Se lanciamo un dado a sei facce, qual'è la probabilità che esca un numero dispari?


L'insieme \(\Omega\) di tutti i casi possibili sarà:


\(\Omega=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\)


Mentre \(E\) è il sottoinsieme dei casi favorevoli, ovvero di tutti i numeri dispari che possono uscire:


\(E=\left\{ 1,3,5 \right\}\)


Quindi anche in questo caso avremo:


\(P(E)={|E| \over |\Omega|}={3 \over 6}= {1 \over 2}\)


In entrambi i nostri esempi ci è uscito il valore \({1 \over 2}\), ma in generale quali valori può assumere?


La cardinalità di un insieme è sempre positivo perchè non puoi avere un numero negativo di elementi, quindi dovrà essere maggiore di \(0\).


Inoltre, \(E\) è un sottoinsieme di \(\Omega\), dunque non potrà avere più elementi di \(\Omega\), quindi il rapporto \({|E| \over |\Omega|}\) deve essere minore di \(1\).


Dunque la probabilità di un evento è un valore compreso tra \(0\) ed \(1\). Se è uguale a \(0\), vuol dire che \(E\) è un insieme vuoto, quindi non ci sono casi favorevoli. Questo vuol dire che è impossibile che \(E\) accada.


Se invece la sua probabilità è uguale ad \(1\), \(E\) è uguale ad \(\Omega\) e quindi tutti i casi possibili sono casi favorevoli. Si dice dunque che \(E\) è certo.


Questa è la definizione classica della probabilità. Ci sono poi altre definizioni che vedremo più avanti.