Poliedri

Di seguito analizzeremo i poliedri.

Cosa sono

Convessi

Regolari

Altri poliedri

Proprietà


Cosa sono i poliedri?


I poliedri sono solidi la cui superficie è formata interamente da poligoni. Quindi, ad esempio, un cubo è un poliedro:

Poliedri 1

E anche questo qua è un poliedro:

Poliedri 2

Però una sfera non è un poliedro:

Poliedri 3

E anche un cilindro non lo è:

Poliedri 4

Perchè le loro superfici non sono formate interamente da poligoni.


Ogni poligono da cui i poliedri sono formati viene chiamata faccia.


I lati dei poligoni vengono chiamati spigoli.


I vertici dei poligono vengono sempre chiamati vertici.


Un segmento che congiunge due vertici non consecutivi del poliedro è detto diagonale.


Se la diagonale congiunge due vertici della stessa faccia, è detta di superficie, altrimenti è detta interna:

Poliedri 5

La definizione di poliedro è molto generale, per questo effettuiamo ulteriori classificazioni:



Poliedri convessi e concavi


La definizione di convessità per i poliedri è la stessa esatta di quella di convessità per i poligoni che abbiamo visto in un'altra lezione:


Un poliedro è detto convesso se, presi due punti qualsiasi dentro di esso, il segmento che congiunge questi due punti giace interamente all'interno di esso.


Se un poliedro non è convesso, allora è concavo.


Quindi un cubo è un poliedro convesso, ma un poliedro con "spuntoni" che fuoriescono o con "rientranze", come il secondo che abbiamo visto, è concavo. Solitamente ci interessano di più i poliedri convessi e raramente vedremo poliedri concavi.


Passiamo quindi alla prossima classificazione:



Poliedri regolari ed irregolari


Un poliedro è detto regolare se le sue facce sono formate da poligoni regolari e sono tutte uguali.


Se un poligono non è regolare, allora è irregolare.


La definizione di poliedro regolare potrebbe sembrare ancora abbastanza generale, ma in realtà esistono solo \(5\) poliedri che soddisfano i suoi requisiti.


Essi vengono talvolta chiamati solidi platonici perché Platone li studiò e sono:


Il tetraedro regolare:

Poliedri 6

L'esaedro regolare (il cubo):

Poliedri 7

L'ottaedro regolare:

Poliedri 8

Il dodecaedro regolare:

Poliedri 5

Infine, l'icosaedro regolare:

Poliedri 5

Se parlate greco antico, sarà facile per voi ricordarvi il loro nome perché sono formati dal numero di facce che hanno in greco antico più un suffiso -edro più l'aggettivo "regolare". Altrimenti dovrete impararli a memoria.


Completiamo con qualche famiglia di poliedri comuni da incontrare:




Qualche altro poliedro


Iniziamo con i prismi. I prismi sono poliedri convessi formati da due poligoni paralleli e uguali, chiamati basi, e da parallelogrammi come facce laterali:


Immagine non disponibile al momento

Nella famiglia dei prismi rientrano pure i parallelopipedi. L'unico prisma che è anche un poliedro regolare è il cubo.


Le piramidi invece sono formate da una base e un vertice che non appertiene ad essa e tutte le facce laterali sono triangoli:


Immagine non disponibile al momento

L'unica piramide che è anche un poliedro regolare è il tetraedro regolare. Tutte le altre piramidi sono poliedri irregolari.


Infine vediamo il tronco di piramide. Essa è ottenuta tagliando la piramide con un piano parallelo alla base:


Immagine non disponibile al momento

Le facce laterali sono tutti trapezi e tutti i tronchi di piramide sono poliedri irregolari.


Finiamo osservando due proprietà dei poliedri:



Qualche proprietà


La formula di Eulero collega tra loro il numero di facce \(F\), il numero di vertici \(V\) e il numero di spigoli \(S\). Essa afferma che:


\(F+V=S+2\)


Conoscendo il numero di vertici e di spigoli, possiamo trovare anche il numero di diagonali \(D\):


\(D= {V(V-1)\over 2} - S\)