Di seguito analizzeremo i numeri complessi in forma algebrica.
Dalla scorsa lezione dovreste aver compreso il concetto di numero immaginario. Cosa succede però se facciamo "interagire" questi nuovi numeri con i numeri reali?
Siccome abbiamo detto che l'unità immaginaria moltiplicata per un numero reale ci da come risultato un numero immaginario, sappiamo come fare la moltiplicazione. Abbiamo quindi:
a\cdot bi= abi
Cosa succede però se sommiamo un numero reale ed un numero immaginario? Non potendoli unire insieme, li trattiamo esattamente come due monomi non simili sommati insieme. Il binomio che otteniamo è un numero complesso:
a+ib
Possiamo dare un nome a questo numero per non dovere riscrivere tutto ogni volta, per esempio z. Quando scriviamo z nella forma:
z=a+ib
si dice che lo abbiamo scritto in forma algebrica. a si dice parte reale di z e si scrive:
a=Re(z)
b si dice invece parte immaginaria di z e si scrive:
b=Im(z)
Notiamo che quando la parte immaginaria è uguale a 0, ci rimane soltanto il numero reale a. Possiamo quindi riscrivere ogni numero reale n come n+0i. Un numero reale è quindi "un caso particolare di numero complesso". Più rigorosamente possiamo dire che l'insieme dei numeri reali \mathbb{R} è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi \mathbb{C}
Non si chiamano numeri complessi perchè sono complicati, ma perchè sono formati da più parti e in matematica, ma anche in scienze, quando qualcosa è formato da più cose viene spesso chiamato complesso.
Esattamente come per i binomi, possiamo effettuare operazioni con i numeri complessi.
Nel caso della somma algebrica, ci basta raggruppare le parti reali e quelle immaginari. Se abbiamo quindi due numeri complessi z e w che possiamo scrivere in forma algebrica come:
z=a+ib
w=c+id
Avremo:
z+w=(a+ib)+(c+id) = a+ib+c+id= a+b + ib+id= (a+b)+(b+d)i
La parte reale della somma sarà dunque uguale alla somma delle parti reali degli addendi, mentre la parte immaginaria sarà uguale alla somma delle parti immaginarie.
Vediamo qualche esempio:
Se:
z=3+2i
w=5+4i
Allora:
z+w= (3+2i)+(5+4i) = 3+5 + 2i+4i= 8+6i
Se:
z=4+2i
w=2+3i
Allora:
z+w = (4+2i)+(2+3i)=6+5i
Se:
z=1+2i
w=4+3i
z+w=(1+2i)+(4+3i)=5+5i
Anche per la moltiplicazione vediamo ai numeri complessi come binomi, però sfruttiamo anche alcune proprietà dell'unità immaginaria.
Se abbiamo:
z=a+ib
w=c+id
Allora la loro moltiplicazione sarà:
z\cdot w = (a+ib)\cdot (c+id)= ac+iad +ibc + i^2 bd
Siccome, dalla sua definizione, abbiamo i^2 = -1, la nostra formula diventa:
z\cdot w= ac + iad + ibc -bd
Raggruppiamo le parti reali e quelle immaginarie per ottenere la formula finale:
z\cdot w= (ac-bd)+(ad+bc)i
Se volete potete imparare a memoria la formula, anche se solitamente poi non si usa perché è più complicata della moltiplicazione tra binomi. Però vi serve per capire che il prodotto tra due numeri complessi da come risultato un numero complesso le cui parti reali ed immaginarie dipendono da sia le parti reali che immaginari dei fattori.
Notiamo una cosa interessante:
Se prendiamo il numero complesso z=a+ib e lo moltiplichiamo per il numero complesso w=a-ib otteniamo:
z\cdot w = (a+ib)\cdot (a-ib)
che si tratta di una somma per differenza e quindi:
(a+ib)\cdot (a-ib)= (a)^2 - (ib)^2 = a^2 -(-b^2)= a^2 +b^2
Otteniamo quindi un numero reale. w si chiama il coniugato di z e si scrive \overline{z} ed è molto importante.
Quindi, il coniugato di un numero complesso z è il numero complesso \overline{z} che ha stessa parte reale e parte immaginaria opposta:
z=a+ib
\overline{z}=a-ib
Un po' come per la razionalizzazione, quando abbiamo una divisione tra numeri complessi, cerchiamo di rendere il denominatore un numero reale e solo allora effettuiamo la divisione.
Se abbiamo due numeri complessi z=a+ib e w=c+id il loro quoziente sarà:
{z\over w} = {a+ib\over c+id}
Per togliere quel numero complesso dal denominatore possiamo moltiplicare il numeratore ed il denominatore per il coniugato di w:
{a+ib \over c+id} = {a+ib\over c+id} \cdot {c-id \over c-id}= {(a+ib)\cdot (c-id) \over {c^2 +d^2}}
Sfruttando poi la formula per la moltiplicazione tra due numeri complessi otteniamo:
{z\over w} = {(ac+bd)+(bc-ad)i\over {c^2+d^2}}
ma l'importante è comprendere che dobbiamo moltiplicare il numeratore ed il denominatore per il coniugato del denominatore, poi la formula non c'è bisogno di impararla.
Calcola la somma dei seguenti numeri complessi:
z_1 = 3 + 4i
z_2 = 1 - 2i
4 + 2i
Per sommare due numeri complessi, sommiamo separatamente le parti reali e le parti immaginarie:
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4i - 2i) = 4 + 2i
4 + 2i
Calcola la differenza dei seguenti numeri complessi:
z_1 = 6 + 3i
z_2 = 2 - 5i
4 + 8i
Per calcolare la differenza tra due numeri complessi, sottraiamo separatamente le parti reali e le parti immaginarie:
z_1 - z_2 = (6 + 3i) - (2 - 5i) = (6 - 2) + (3i - (-5i)) = 4 + 8i
4 + 8i
Calcola il prodotto dei seguenti numeri complessi:
z_1 = 2 + 3i
z_2 = 1 - 4i
14 - 5i
Per moltiplicare due numeri complessi, applichiamo la proprietà distributiva e semplifichiamo:
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i) \cdot (1 - 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-4i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 14 - 5i
14 - 5i
Sia dato il numero complesso z = 4 + 3i . Calcola:
Somma: 8
Differenza: 6i
Prodotto: 25
Il coniugato di z = 4 + 3i è \bar{z} = 4 - 3i
La somma di z e il suo coniugato è:
z + \bar{z} = (4 + 3i) + (4 - 3i) = 8
La differenza tra z e il suo coniugato è:
z - \bar{z} = (4 + 3i) - (4 - 3i) = 6i .
3. Il prodotto di z e il suo coniugato è:
z \cdot \bar{z} = (4 + 3i) \cdot (4 - 3i) = 25
Somma: 8
Differenza: 6i
Prodotto: 25
Calcola la divisione dei seguenti numeri complessi:
z = 3 + 2i
w = 1 - i
\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i
Per dividere due numeri complessi, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, cioè 1+i:
\frac{z}{w} = \frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} ={1+5i \over 1^2 - i^2}= \frac{1 + 5i}{2}
\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i