Il moto di caduta libera è il moto di un corpo libero di cadere da una certa altezza h da una situazione iniziale in cui stava fermo. Inoltre, l’attrito dell’aria deve essere trascurabile.
Quindi se prendete una penna in mano e la lasciate cadere, essa effettuerà un moto di caduta libera.
In un moto di caduta libera ci interessa trovare la velocità finale o il tempo impiegato (o entrambi) conoscendo l’altezza da cui cade.
Innanzitutto cominciamo dal notare che il moto di caduta libera è un caso particolare di moto uniformemente accelerato, dove la velocità iniziale è uguale a 0.
Se ci troviamo sulla Terra, l’accelerazione verso il basso è circa 9,8 m/s^2 che viene solitamente chiamata g. Se al posto della Terra ci troveremo sulla Luna, su Marte o altri luoghi particolari, basterà sostituire la loro accelerazione di gravità al posto di g.
Guardiamo ora invece alla legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato:
S(t)=S_0 + v_0(t-t_0) +{a(t-t_0)^2 \over 2}
Per semplificare imponiamo l’origine (il nostro punto di riferimento) a terra, l’orientamento verso l’alto e t_0=0. Abbiamo poi visto prima che v_0=0 e a=-g (-g perché abbiamo messo l’orientamento verso l’alto mentre a accelera verso il basso), quindi:
S(t)=S_0 +{-gt^2 \over 2}
Guardiamo quindi cosa succede quando t è proprio il tempo di caduta t_c .
Noi abbiamo messo l’origine per terra, quindi S_0 (che è l’altezza iniziale) sarà uguale ad h. Siccome t_c è il tempo nel momento dell’impatto, in quel momento il corpo si trova nell’origine e quindi S(t_c)=0. Quindi:
S(t_c)=S_0-{g {t_c}^2 \over 2}
0=h-{g{t_c}^2 \over 2}
Isoliamo ora t_c:
{t_c}^2={2h \over g}
t_c=\sqrt{2h \over g}
Passando ora alla velocità finale, richiamiamo la legge oraria della velocità di un moto rettilineo uniformemente accelerato:
v(t)=v_0 +a(t-t_0)
Ricordandoci che t_0=0, che v_0=0 e che a=-g, avremo:
v(t)=-gt
La velocità finale è la velocità nel momento in cui tocca terra, ovvero a t_c . Se quindi sostituiamo t_c al posto di t avremo:
v(t_c)=-gt_c
v_f=-g\cdot \sqrt{2h\over g}
v_f=-\sqrt{2hg^2 \over g}
v_f=-\sqrt{2hg}
La velocità è negativa perché abbiamo messo l’orientamento verso il basso. Se però vogliamo guardare solo al suo modulo senza considerare il suo verso, avremo:
|v_f|=\sqrt{2hg}
In questo modo, conoscendo soltanto l’altezza da cui cade un oggetto, saprete calcolare quanto tempo ci mette a cadere e la sua velocità nel momento dell’impatto.
Se vi state chiedendo perché un foglio di carta non segue queste formule, è perché in questo caso intervengono gli attriti o anche il vento che rallentano la caduta del foglio. Le nostre formule però sono un’ottima approssimazione per tutti gli oggetti che hanno poca superficie o tanta massa, come una penna o un quaderno.
Un fatto curioso è che i tempi di caduta di un’incudine e di una piuma, in assenza di attrito, sono uguali.
Cosa succede se lanciamo un oggetto verticalmente verso l’alto? Dovrà avere una fase di salita, quindi fermarsi ed avere quindi una fase di caduta.
La fase di caduta è un moto di caduta libera che già sappiamo analizzare. Guardiamo quindi alla fase di salita. Se l’attrito dell’aria è trascurabile avremo un moto di salita libera.
Noi stiamo quindi lanciando un oggetto verso l’alto con velocità v_0 , esso viene decelerato dalla forza di gravità fino a quando non si ferma e ricade verso terra.
Quindi questa volta vorremo trovare la velocità iniziale ed il tempo conoscendo l’altezza a cui arriva.
Imponiamo l’origine nel punto in cui lanciamo l’oggetto, ovvero S_0=0, ed imponiamo t_0=0. Imponiamo anche l’orientamento verso l’alto. Quindi siccome l’accelerazione di gravità punta verso il basso, essa sarà uguale a -g.
Ricordiamo quindi la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato:
S(t)=S_0+v_0(t-t_0)+{a(t-t_0)^2 \over 2}
Che nel nostro caso diventa:
S(t)=v_0 \cdot t + {-gt^2 \over 2}
Alla fine del moto, ovvero nell’istante t_s (il tempo di salita), il corpo si troverà nel punto più alto, ovvero h. Quindi:
h=v_0 \cdot t_s -{g{t_s}^2 \over 2}
Lasciamo quest’equazione un attimo da parte e guardiamo alla legge oraria delle velocità del moto rettilineo uniformemente accelerato:
v(t)=v_0+a(t-t_0
Siccome a=-g e t_0= 0 avremo:
v(t)=v_0-gt
Siccome nel punto di massima altezza il corpo si ferma, la sua velocità in quel momento è 0, ovvero v(t_s)=0 quindi:
0=v_0-gt_s
v_0=gt_s
Possiamo ora sostituire v_0 nell’equazione ricavata dalla legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato:
h=v_0 \cdot t_s -{g{t_s}^2 \over 2}
h=gt_s \cdot t_s- {g{t_s}^2 \over 2}
h= {{2g{t_s}^2 -g{t_s}^2}\over 2}
h={g{t_s}^2\over 2}
Isolando il tempo di salita:
{t_s}^2={2h\over g}
t_s=\sqrt{2h\over g}
Sostituendo nella legge oraria della velocità:
v_0=gt_s
v_0=g\cdot \sqrt{2h\over g}
v_0=\sqrt{2hg^2 \over g}
v_0=\sqrt{2hg}
Si può notare che il tempo di salita è lo stesso identico al tempo di caduta. Quindi quando si lancia un corpo verso l’alto, questo ci mette lo stesso tempo sia per salire che per scendere.
Stessa cosa per la velocità: la velocità con cui si lancia verso l’alto è la stessa (in modulo, ma di segno opposto perché adesso è verso il basso) velocità con cui ricade in mano (se si riprende alla stessa altezza da cui è stato lanciato).
Pino lancia da un albero alto 5 metri una mela. Quanto sarà veloce la mela quando toccherà terrà?
10m/s
Per risolvere il problema possiamo usare la formula della velocità di un corpo in caduta libera:
v = \sqrt{2hg}
Siccome l'altezza è uguale a 5 metri, otteniamo:
v = \sqrt{2\cdot 5 \cdot 9,8}\approx 10m/s
10m/s
Maria lancia un sassolino in un pozzo profondo 30 metri. Dopo quanto tempo il sassolino toccherà il fondo?
2,4s
Per risolvere il problema possiamo usare la formula del tempo di caduta di un corpo in cadutaa libera:
t_c = \sqrt{2h\over g}
Quindi, siccome l'altezza è 30m, otteniamo:
t_c = \sqrt{2\cdot 30\over 9.8} \approx 2,4s
2,4s
Due corpi vengono lasciati cadere comtemporaneamente da due altezze h_1 ed h_2. Se il tempo di caduta del primo t_1 è quattro volte quello del secondo, quanto vale il rapporto h_1\over h_2?
16
Dire che t_1 è quattro volte t_2 equivale a dire che il loro rapport è uguale a 4:
{t_1\over t_2} = 4
Ricordiamoci della formula del tempo di caduta di un corpo in caduta libera:
t_c = \sqrt{2h\over g}
Possiamo quindi sostituire nel rapporto di prima ed ottenere:
{\sqrt{2h_1 \over g}\over \sqrt{2h_2 \over g}} = 4
Portiamo tutto sotto un'unica radice e semplifichiamo:
\sqrt{{2h_1\over g}\over {2h_2\over g}} = 4
\sqrt{{2h_1\over g}\cdot {g\over 2h_2}} = 4
\sqrt{h_1\over h_2} = 4
Eleviamo quindi entrambi i lati al quadrato per ottenere la soluzione finale:
{h_1 \over h_2} = 16
16
Filippo calcia verso l'alto un pallone alla velocità di 10m/s. Quando il pallone sta tornando a terra, Paolo, che è alto due metri, colpisce di testa il pallone e fa gol. Quanto tempo è passato tra il calcio di Filippo e il tiro di testa di Paolo?
1,8s
Scomponiamo il moto in due parti: la prima dal calcio di Filippo al momento in cui il pallone raggiunge il punto più alto della sua traittoria e la seconda da quel momento a quando Paolo tira di testa.
Possiamo calcolare l'altezza massima h_1 a cui arriva il pallone utilizzando la formula della velocità del moto di un corpo in salita libera:
v = \sqrt{2h_1g}
Isolando h_1 otteniamo:
h_1 = {v^2 \over 2g}\approx 5m
Possiamo quindi usare la formula del tempo di un corpo in salita libera per trovare il tempo t_1 del primo moto:
t_1 = \sqrt{2h_1\over g}\approx 1s
Passiamo quindi al secondo moto: si tratta di un moto di caduta libera, ma l'altezza non sarà più 5 metri, ma di 3 metri, perché dobbiamo sottrarre l'altezza di Paolo. Quindi avremo h_2=3\text{m}. Sapendo questo possiamo calcolare il tempo trascorso durante il secondo moto:
t_2 = {2h_2\over g} \approx 0,8s
Per ottenere il tempo totale ci basterà dunque sommare i due singoli tempi, ottenendo:
t = t_1 + t_2 = 1,8s
1,8s
Gino ha appena vinto 50 milioni di euro alla lotteria. Per la felicità lancia in aria il cappello, che per sbaglio vola fuori dalla finestra. Sapendo che Gino abita all'ultimo piano di un palazzo di 5 piani (incluso il piano terra) e che ogni piano è alto 5 metri, dopo quanto tempo il cappello toccherà terra?
t = 2,3 \, \text{s}
Calcoliamo l'altezza da cui cade il cappello:
Se ogni piano è alto 5 metri ed abbiamo 5 piani, l'altezza totale sarà di 25 metri.
Quindi ci basta applicare la formula del tempo del moto di un corpo in caduta libera:
t = \sqrt{2h\over g} = \sqrt{2\cdot 25\over 9,8}\approx 2,3s
2,3s