Monomi e polinomi

Di seguito analizzeremo i monomi e i polinomi.

Forma normale

Grado

Operazioni

Polinomi

Forma normale

Grado

Operazioni


Cos’è un monomio?


Un monomio è un espressione letterale in cui compaiono soltanto moltiplicazioni fra numeri, coefficiente, e potenze di lettere, la parte letterale, con numeri naturali per esponenti. Prima di approfondirne le caratteristiche, ecco a voi qualche esempio di monomi:


•    \(5ab\)


•   \((\sqrt 3 + 2)a\)


•    \(-{1 \over 2} xy\)


•    \(2ax^2\)


Per chiarire meglio vi proponiamo alcune espressioni letterali che, per un motivo o per un altro, non sono dei monomi. Ecco qua:


•    \(2a^{-1}\)   perchè \(x\) ha un esponente negativo e quindi non naturale


•    \(2x+y\)   perché compare un’operazione diversa da una moltiplicazione


•    \(2a \over b\)   perché non c’è nessuna moltiplicazione tra numeri e parte letterale


Tutti i numeri sono monomi compreso \(0\) che è detto monomio nullo.


\(2=2a^0\) (per \(a \neq 0\))



Forma normale dei monomi


Un monomio si dice ridotto in forma normale se è espresso come prodotto tra un solo fattore numerico e una o più potenze letterali (se il coefficiente è \(1\), è sottinteso per convenzione). Per ridurre un monomio in forma normale si usano le proprietà delle moltiplicazione e delle potenze.


Esempio:


\(4(x^2y)^3 = 4x^6y^3\)



Grado di un monomio


Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l’esponente che la lettera ha nel monomio. Il grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere. Per fissare meglio il concetto vediamo alcuni esempi:


•    \(7a^2b^3c\)   - questo monomio è di grado \(3\) rispetto a \(b\) e il suo grado complessivo è \(6\)


•    \(-{1 \over 4}x^5yz^2\)   - questo monomio è di grado \(5\) rispetto a \(x\) e il suo grado complessivo è \(8\)



Monomi simili, opposti e uguali


Due monomi in forma normale sono detti simili se hanno la stessa parte letterale:


\(3a^3b \)  si dice simile a   \(\sqrt {2}a^3b\)  perché hanno la parte letterale   \(a^3b\)   in comune.


Due monomi in forma normale sono detti opposti se sono simili e hanno i coefficienti opposti:


\({1\over 2}xyz\)   si dice opposto a   \(-{1\over 2}xyz\)   perché il coefficiente   \(1 \over 2\)   è di segno opposto.


Due monomi in forma normale sono detti uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente:


\(16xy\)   si dice uguale a   \((2^2)^2xy\)   perché hanno la stessa parte letterale e   \(16 = (2^2)^2\).



Somma e differenza di monomi simili


Dalla somma o dalla differenza tra monomi simili e non opposti si ottiene sempre un monomio simile ai monomi di partenza e con coefficiente la somma o la differenza dei coefficienti. Se i monomi coinvolti non sono simili si ottiene un’espressione che non può essere semplificata per ottenere un monomio, queste espressioni si chiamano polinomi e le approfondiremo in seguito.


Esempi:


•    \(3ac+ac =4ac\)


•    \(3x-5x=-2x\)


Esempio di somma tra monomi non simili:


•    2ac -2x = 2(ac-x)


Il risultato della somma tra monomi opposti è il monomio nullo:


\(2xy+(-2xy)= 2xy-2xy=0\)



Prodotto di monomi


Per calcolare il prodotto di due o più monomi si usano le proprietà delle moltiplicazioni e delle potenze e il risultato è sempre un monomio di cui il coefficiente è il prodotto dei coefficienti e ogni lettera della parte letterale ha come esponente la somma degli esponenti con cui la lettera compare nei fattori.


Esempi:


•    \(2x^3y \cdot 3ax\)   moltiplichiamo i coefficienti   \((2 \cdot3)x^3y \cdot ax\)   e poi le parti letterali   \(6ax^4y\)


•    \(-1ab \cdot 4bc \) \( \longrightarrow (-1 \cdot 4)ab \cdot bc \longrightarrow -4ab^2c\)


Notiamo che, a differenza dell’addizione, il prodotto tra due monomi è sempre un monomio. Per questo si dice che la moltiplicazione, per i monomi, è un'operazione interna.



Divisione e potenza

Per effettuare una divisione tra monomi è necessario che il primo monomio abbia la stessa parte letterale del secondo (possono comparire anche più lettere). Il primo monomio deve anche avere l’esponente di ogni lettera maggiore o uguale maggiore o uguale all’esponente della stessa lettera nel secondo.


Verificate queste condizioni si procede alla divisione:


Vediamo un esempio: calcoliamo \(3abc^4 : 4bc^2.\)   Il coefficiente del monomio ottenuto sarà il quoziente tra i coefficienti:

\[{3 \over {4}} (abc^4):(bc^2)\]

Per la parte letterale, gli esponenti di ogni lettera saranno la differenza tra i quozienti della stessa lettera nei monomi di partenza:

\[{ 3 \over 4}ab^{1-1}c^{4-2} \longrightarrow { 3 \over 4}ac^2\]

Calcolare la potenza di un monomio consiste semplicemente nell’elevare prima il coefficiente e poi ogni lettera della parte letterale:

\[(-5x^2z)^4 \longrightarrow 25x^8z^4\]



Cos’è un polinomio?

Un polinomio è una somma algebrica tra monomi. I monomi che formano un polinomio sono termini del polinomio. I polinomi si classificano in base al numero di monomi da cui sono formati. Se un polinomio è composto da \(2\) monomi si chiama binomio, se i monomi sono \(3\) si chiama trinomio e se sono \(4\) si chiama quadrinomio. Da \(5\) termini in poi si dice che un polinomio ha \(N\) termini.


Esempi di polinomi:


•    \(2xy-3z\)


•    \(5a^2+\sqrt{3}xy\)


•    \(ac-4x+4b^2\)


Un polinomio si dice opposto a un altro polinomio se i suoi termini sono monomi opposti ai termini del primo.


Esempi di polinomi opposti:


•    \(b^2+3ac \longrightarrow -b^2-3ac\)


•    \(\sqrt{3}x-4ab \longrightarrow -\sqrt{3}x+4ab\)


•    \(-\frac{3}{4}ab+3k^2 \longrightarrow \frac{3}{4}ab-3k^2\)



Forma normale dei polinomi


Un polinomio si dice ridotto in forma normale se tra i suoi termini non compaiono monomi simili. Per ridurre un polinomio alla sua forma normale basta sommare i suoi termini.


Esempio:


\(4ab+x^3y-ab \)\( \longrightarrow (4-1)ab+x^3y \longrightarrow 3ab+x^3y\)



Grado di un polinomio


Per conoscere il grado di un polinomio bisogna guardare ai suoi termini, il grado del polinomio corrisponderà al grado del monomio di grado maggiore tra quelli che lo compongono. In poche parole il grado di un polinomio è il grado maggiore tra i gradi complessivi dei suoi termini.


Vediamo qualche esempio:


•    \(4xy^3-k+2ab\)   - il grado è \(4\) perché è il grado complessivo di \(4xy^3\)


•    \(x-z\)   - il grado è \(1\) perché è il grado di entrambi i termini


•    \(2ac -4x^3+abc\)   - il grado è \(3\) perché è il grado massimo tra i termini



Operazioni tra polinomi


Addizione e sottrazione:


La somma tra polinomi è un nuovo polinomio formato dalla somma dei monomi simili degli addendi.


\((2xy-4z)+(3xy+3z) \)\(\longrightarrow (2+3)xy+(-4+3)z \)\(\longrightarrow 5xy-z\)


La differenza tra polinomi è un nuovo polinomio che si ottiene sommando il primo polinomio all'opposto del secondo.


\((2xy-4z)-(3xy+3z)\) \( \longrightarrow (2xy-4z)+(-3xy-3z)\)\( \longrightarrow -xy-7z\)


Moltiplicazione e potenza:


Il prodotto tra polinomi si calcola moltiplicando tutti i termini del primo fattore per tutti i termini del secondo fattore.


\((2ac-4b) \cdot (5a+2b^2) \)\(\longrightarrow 2ac \cdot 5a -4ab \cdot 5a +2ac \) \( \cdot 2b^2 -4ab \cdot 2b^2\)


semplificando

\[10a^2c-20a^2b+4ab^2c-4ab^3\]

La potenza di un polinomio consiste semplicemente nel moltiplicare un polinomio per se stesso il numero di volte indicato dall'esponente.


\((2x-y)^3= \) \((2x-y)\cdot(2x-y)\cdot(2x-y)\)


Divisione:


La divisione tra polinomi è un argomento difficile da spiegare sinteticamente e per questo abbiamo deciso di dedicarci una pagina apposita che potete trovare nell'indice o cliccando qui.