Equazioni con valore assoluto

Di seguito analizzeremo le equazioni dove compaiono uno o più valori assoluti.

1 modulo

Modulo + cost.

Modulo + var.

2+ moduli


Equazioni con modulo (valore assoluto)


Un’equazione con modulo, come dice il suo nome, è un’equazione in cui appaiono uno o più moduli.


Esempi di equazioni con modulo sono i seguenti:


• \(|x+4| = 3\)


• \(3-2|x| = 0\)


• \(|x+4| = |x+3|+x\)


Non sono invece equazioni con modulo le seguenti:


• \(x+4=18x +3 \) - perché non appare alcun modulo


• \(3x+|2|=0\) - perché non essendoci alcun incognita dentro il modulo possiamo ricondurla direttamente ad una equazione normale (in questo caso a \(3x+2=0\))



Equazioni con un solo modulo


Iniziamo parlando delle equazioni in cui compare un solo modulo. Nella forma più generale esse si presentono nella seguente forma:


\(|A(x)| = B(x)\)


Dove \(A(x)\) e \(B(x)\) sono funzioni di \(x\).



Modulo e una constante


Iniziamo considerando un caso particolare che risulta più semplice del caso generale: guardiamo cosa succede quando \(B(x)\) è una costante. Chiamiamo questa costante \(k\). Avremo quindi:


\(|A(x)|= k\)


Dobbiamo distinguere due casi: se \(k\) è negativo o positivo. Il primo caso è il più semplice perché siccome il valore assoluto di qualcosa è sempre positivo è impossibile che sia uguale a qualcosa di negativo.


Quindi se \(k<0\) l’equazione è impossibile.


Se invece \(k\) è positivo basta mettere un \(\pm\) davanti a \(k\) per togliere il modulo. Questo perché siccome \(k\) non varia a seconda di\(x\) , per avere l’equazione verificata dobbiamo avere:


\(A(x) = k\)


Oppure:


\(A(x) = -k\)


Che possiamo sintetizzare in:


\(A(x) = \pm k\)


Quindi per risolvere questa tipologie di equazioni con modulo dobbiamo risolvere le due equazioni che abbiamo trovato e prendere tutte le soluzioni.


Facciamo un esempio:


• \(|x+4|=3\)


Dobbiamo risolvere le due equazioni.


Cominciamo risolvendo la prima:


\(x+4=3\)


\(x=-1\)


Passiamo alla seconda:


\(x+4=-3\)


\(x=-7\)


Quindi le soluzioni dell’equazione con modulo saranno \(3\) e \(-7\).


Tutto qua, i calcoli potrebbero essere più complicati, ma il procedimento è questo. Se invece abbiamo un’equazione tipo:


\(|x^5+2|=-2 \)


Sappiamo subito che è impossibile, perché qualunque sia l’argomento del modulo, la parte a sinistra dell’uguale sarà positiva e non potrà mai e poi mai essere uguale a \(-2\).



Modulo e una variabile


Passiamo al caso generale:


Abbiamo detto che in generale un’equazione con un modulo appare nella seguente forma:


\(|A(x)|=B(x)\)


Quindi vediamo che risolverle quando \(B(x)\) non è costante.


Per fare ciò dividiamo il problema in due casi, quando \(A(x)\) è maggiore o uguale a \(0\) e quando \(A(x)\) è minore di \(0\). Trovate le soluzioni dei due casi ci basterà unirle per trovare la soluzione dell’equazione con modulo.


Partiamo dal primo caso:


Se \(A(x)\) è maggiore o uguale a \(0\) abbiamo:


\(|A(x)|=A(x)\)


Quindi sostituendo:


\(A(x) =B(x)\)


Risolvendo otteniamo le soluzioni. Notiamo che non ci sono non dobbiamo preoccuparci di \(B(x)\) perché se \(B(x)=A(x)\) e \(A(x)\) è positivo anch’esso deve esserlo.


Quindi otteniamo il sistema:


\(\begin{cases}A(x) \geq 0\\A(x)=B(x)\end{cases} \)


Guardiamo ora invece a quando \(A(x)\) è negativo. Se \(A(x) < 0\) abbiamo:


\(|A(x)|=-A(x)\)


Sostituendo:


\(-A(x)=B(x)\)


Notiamo che anche questa volta non ci sono problemi sul segno di \(B(x)\), perché se \(A(x)\) è negativo, allora \(-A(x)\) è positivo e quindi l’equazione precedente ci assicura che anche \(B(x)\) lo sarà.


Quindi otteniamo il sistema:


\(\begin{cases}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{cases}\)


Unendo i due sistemi abbiamo che le soluzioni dell’equazione con modulo saranno l’unione dei soluzioni dei sistemi, ovvero:


\(\begin{cases}A(x) \geq 0\\A(x)=B(x)\end{cases}\)   \( \cup \)  \(\begin{cases}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{cases}\)


Con questa formula potrete risolvere qualsiasi equazione con un modulo!



Equazioni con due o più moduli


Vediamo ora come risolvere equazioni dove compaiono \(2\) o più moduli.


Ecco alcuni esempi:


• \(|2x+1|-4x+|x| = 9\)


• \(|3-2x| - 5x = |3x-1|\)


• \(|x^2-x-3|+4x-|x|=0\)


Per risolvere questo tipo di equazioni bisogna studiare il segno dell’espressione in ogni modulo singolarmente e poi trovare le possibili soluzioni per i vari casi.


Prendiamo come esempio la prima equazione riportata sopra:


\(|2x+1|-4x+|x| = 9\)


In questa equazione sono presenti \(2\) moduli, prima studiamo il primo modulo:


\(|2x+1|\)


Sappiamo che il modulo sarà sempre positivo, ma ci serve il valore di \(x\) per il quale si annulla per capire se cambierà segno o meno ai suoi termini.


\(2x+1=0 \longrightarrow x=-{1\over 2}\)


Ora sappiamo che per le \(x\) minori di \(-{1\over 2}\) l’espressione all’interno del modulo sarà negativa e quindi il modulo cambierà segno a tutti i termini per renderla positiva.


Se \(x \geq -{1\over 2}\) :


\(|2x+1| = 2x+1\)


Se \(x < -{1\over 2}\) :


\(|2x+1| = -(2x+1) =\)\(-2x-1\)


Ci annotiamo i risultati nel seguente grafico dei segni e procediamo nello studio del prossimo modulo.

Grafico dei segni

Il modulo successivo è, \(|x|\) in questo caso sarà facile capire che si annulla per \(x=0\) e di conseguenza:


Se \(x \geq 0\) :


\(|x| = x\)


Se \(x<0\) :


\(|x|=-x\)


Lo scriviamo nel grafico dei segni e procediamo con la risoluzione dell’equazione.

Grafico dei segni

Ora ci basterà leggere il grafico e per ogni situazione scrivere l’equazione corrispondente e fare l’unione delle soluzioni accettabili di tutte le equazioni.


Se \(x< -{1 \over 2}\) :


\(-2x-1-4x-x=9\)


\(x= -{10 \over 7}\) - ACCETTABILE


Se \(-{1\over 2} \leq x < 0\) :


\(2x+1-4x-x = 9\)


\(x = -{8 \over 3}\) - NON accettabile perché non rispetta la condizione \(-{1\over 2} \leq x < 0\)


Se \(x \geq 0\) :


\(2x+1-4x+x = 9\)


\(x=-8\) - NON accettabile perché non rispetta la condizione \(x \geq 0\)


La soluzione dell’equazione sarà quindi \(x= -{10 \over 7}\)



Equazioni con moduli dentro altri moduli


Passiamo ora all’ultimo caso che analizzeremo in questa lezione, ovvero quello di uno o più moduli dentro un modulo.


Vediamo alcuni esempi:


• \(|x-|x^2-3|+2| = 3\)


• \(||3x-1|+x-|2x|+5| = |x|\)


• \(2x-||x-3|-x| = 8\)


Per risolvere questo tipo di equazione basta applicare i metodi visti in precedenza uno dopo l’altro.


Potrebbero le soluzioni podrebbero essere molte, soprattutto se sono presenti tanti moduli.


Prendiamo il secondo esempio, dove è necessario usare due dei metodi visti in precedenza:


\(||3x-1|+x-|2x|+5| = |x|\)


La prima cosa da notare è che entrambi i membri dell’equazione sono moduli e quindi, come prima avremo che il primo membro è uguale a \(\pm\) il secondo membro.


Quindi otterremo queste \(2\) equazioni:


• \(|3x-1|+x-|2x|+5 = x\)


• |3x-1|+x-|2x|+5 = -x


Ora risolviamo entrambe separatamente con il metodo già visto e troviamo le soluzioni.