Equazioni con valore assoluto

Di seguito analizzeremo le equazioni dove compaiono uno o più valori assoluti.

1 modulo

Modulo + cost.

Modulo + var.

2+ moduli

Moduli in moduli


Equazioni con modulo (valore assoluto)


Un’equazione con modulo, come dice il suo nome, è un’equazione in cui appaiono uno o più moduli.


Esempi di equazioni con modulo sono i seguenti:


|x+4| = 3


3-2|x| = 0


|x+4| = |x+3|+x


Non sono invece equazioni con modulo le seguenti:


x+4=18x +3  - perché non appare alcun modulo


3x+|2|=0 - perché non essendoci alcun incognita dentro il modulo possiamo ricondurla direttamente ad una equazione normale (in questo caso a 3x+2=0)



Equazioni con un solo modulo


Iniziamo parlando delle equazioni in cui compare un solo modulo. Nella forma più generale esse si presentono nella seguente forma:


|A(x)| = B(x)


Dove A(x) e B(x) sono funzioni di x.



Modulo e una constante


Iniziamo considerando un caso particolare che risulta più semplice del caso generale: guardiamo cosa succede quando B(x) è una costante. Chiamiamo questa costante k. Avremo quindi:


|A(x)|= k


Dobbiamo distinguere due casi: se k è negativo o positivo. Il primo caso è il più semplice perché siccome il valore assoluto di qualcosa è sempre positivo è impossibile che sia uguale a qualcosa di negativo.


Quindi se k<0 l’equazione è impossibile.


Se invece k è positivo basta mettere un \pm davanti a k per togliere il modulo. Questo perché siccome k non varia a seconda di x , per avere l’equazione verificata dobbiamo avere:


A(x) = k


Oppure:


A(x) = -k


Che possiamo sintetizzare in:


A(x) = \pm k


Quindi per risolvere questa tipologie di equazioni con modulo dobbiamo risolvere le due equazioni che abbiamo trovato e prendere tutte le soluzioni.


Facciamo un esempio:


|x+4|=3


Dobbiamo risolvere le due equazioni.


Cominciamo risolvendo la prima:


x+4=3


x=-1


Passiamo alla seconda:


x+4=-3


x=-7


Quindi le soluzioni dell’equazione con modulo saranno 3 e -7.


Tutto qua, i calcoli potrebbero essere più complicati, ma il procedimento è questo. Se invece abbiamo un’equazione tipo:


|x^5+2|=-2


Sappiamo subito che è impossibile, perché qualunque sia l’argomento del modulo, la parte a sinistra dell’uguale sarà positiva e non potrà mai e poi mai essere uguale a -2.



Modulo e una variabile


Passiamo al caso generale:


Abbiamo detto che in generale un’equazione con un modulo appare nella seguente forma:


|A(x)|=B(x)


Quindi vediamo che risolverle quando B(x) non è costante.


Per fare ciò dividiamo il problema in due casi, quando A(x) è maggiore o uguale a 0 e quando A(x) è minore di 0. Trovate le soluzioni dei due casi ci basterà unirle per trovare la soluzione dell’equazione con modulo.


Partiamo dal primo caso:


Se A(x) è maggiore o uguale a 0 abbiamo:


|A(x)|=A(x)


Quindi sostituendo:


A(x) =B(x)


Risolvendo otteniamo le soluzioni. Notiamo che non ci sono non dobbiamo preoccuparci di B(x) perché se B(x)=A(x) e A(x) è positivo anch’esso deve esserlo.


Quindi otteniamo il sistema:


\left\{ \begin{array}{l}A(x) \geq 0\\A(x)=B(x)\end{array} \right.


Guardiamo ora invece a quando A(x) è negativo. Se A(x) < 0 abbiamo:


|A(x)|=-A(x)


Sostituendo:


-A(x)=B(x)


Notiamo che anche questa volta non ci sono problemi sul segno di B(x), perché se A(x) è negativo, allora -A(x) è positivo e quindi l’equazione precedente ci assicura che anche B(x) lo sarà.


Quindi otteniamo il sistema:


\left\{ \begin{array}{l}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{array} \right.


Unendo i due sistemi abbiamo che le soluzioni dell’equazione con modulo saranno l’unione dei soluzioni dei sistemi, ovvero:


\left\{ \begin{array}{l}A(x) \geq 0\\A(x)=B(x)\end{array} \right.    \cup   \left\{ \begin{array}{l}A(x) < 0\\-A(x)=B(x)\end{array} \right.


Con questa formula potrete risolvere qualsiasi equazione con un modulo!



Equazioni con due o più moduli


Vediamo ora come risolvere equazioni dove compaiono 2 o più moduli.


Ecco alcuni esempi:


|2x+1|-4x+|x| = 9


|3-2x| - 5x = |3x-1|


|x^2-x-3|+4x-|x|=0


Per risolvere questo tipo di equazioni bisogna studiare il segno dell’espressione in ogni modulo singolarmente e poi trovare le possibili soluzioni per i vari casi.


Prendiamo come esempio la prima equazione riportata sopra:


|2x+1|-4x+|x| = 9


In questa equazione sono presenti 2 moduli, prima studiamo il primo modulo:


|2x+1|


Sappiamo che il modulo sarà sempre positivo, ma ci serve il valore di x per il quale si annulla per capire se cambierà segno o meno ai suoi termini.


2x+1=0 \longrightarrow x=-{1\over 2}


Ora sappiamo che per le x minori di -{1\over 2} l’espressione all’interno del modulo sarà negativa e quindi il modulo cambierà segno a tutti i termini per renderla positiva.


Se x \geq -{1\over 2} :


|2x+1| = 2x+1


Se x < -{1\over 2} :


|2x+1| = -(2x+1) =-2x-1


Ci annotiamo i risultati nel seguente grafico dei segni e procediamo nello studio del prossimo modulo.

Grafico dei segni

Il modulo successivo è |x| in questo caso sarà facile capire che si annulla per x=0 e di conseguenza:


Se x \geq 0 :


|x| = x


Se x<0 :


|x|=-x


Lo scriviamo nel grafico dei segni e procediamo con la risoluzione dell’equazione.

Grafico dei segni

Ora ci basterà leggere il grafico e per ogni situazione scrivere l’equazione corrispondente e fare l’unione delle soluzioni accettabili di tutte le equazioni.


Se x< -{1 \over 2} :


-2x-1-4x-x=9


x= -{10 \over 7} - ACCETTABILE


Se -{1\over 2} \leq x < 0 :


2x+1-4x-x = 9


x = -{8 \over 3} - NON accettabile perché non rispetta la condizione -{1\over 2} \leq x < 0


Se x \geq 0 :


2x+1-4x+x = 9


x=-8 - NON accettabile perché non rispetta la condizione x \geq 0


La soluzione dell’equazione sarà quindi x= -{10 \over 7}



Equazioni con moduli dentro altri moduli


Passiamo ora all’ultimo caso che analizzeremo in questa lezione, ovvero quello di uno o più moduli dentro un modulo.


Vediamo alcuni esempi:


|x-|x^2-3|+2| = 3


||3x-1|+x-|2x|+5| = |x|


2x-||x-3|-x| = 8


Per risolvere questo tipo di equazione basta applicare i metodi visti in precedenza uno dopo l’altro.


Le soluzioni potrebbero essere molte, soprattutto se sono presenti tanti moduli.


Prendiamo il secondo esempio, dove è necessario usare due dei metodi visti in precedenza:


||3x-1|+x-|2x|+5| = |x|


La prima cosa da notare è che entrambi i membri dell’equazione sono moduli e quindi, come prima avremo che il primo membro è uguale a \pm il secondo membro.


Quindi otterremo queste 2 equazioni:


|3x-1|+x-|2x|+5 = x


|3x-1|+x-|2x|+5 = -x


Ora risolviamo entrambe separatamente con il metodo già visto e troviamo le soluzioni.