Medie

Di seguito analizzeremo le varie tipologie di medie.

Aritmetica

Geometrica

Armonica

Quadratica

Disequazione


Media aritmetica


La media aritmetica è senza dubbio la tipologia di media più famosa e la più comune da usare.


Infatti, nella media aritmetica ogni singolo termine pesa nello stesso modo sul risultato finale ed è dunque ottima per la vita di tutti i giorni.


Se abbiamo \(n\) termini \(a_1, a_2, a_3, ... , a_n,\) la loro media aritmetica si calcola come la somma di essi divisa il numero di termini:


\(M_a = {a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n\over n}\)


Essa, però, non è l'unica media che possiamo prendere. Ne esistono molte altre, vediamo le principali:



Media geometrica


Al contrario della media artimetica, che possiamo calcolare per qualsiasi insieme di numeri reali, la media geometrica necessita che tutti i termini siano positivi.


Se quindi abbiamo \(n\) numeri positivi \(a_1, a_2, a_3, ... a_n,\) la loro media geometrica si calcola come:


\(M_g = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n}\)


Cioè la radice ennesima del prodotto di tutti i termini. Vediamo un esempio. Calcoliamo la media geomtrica tra \(2\) e \(8:\)


\(M_g = \sqrt{2\cdot 8} = \sqrt{16}= 4\)


Notiamo che al contrario della media aritmetica, il risultato non si trova a metà strada tra i due valori, ma si trova più vicino al più piccolo.


Infatti, la media geometrica da due valori \(x\) ed \(y\) è quel valore \(z\) tale che:


\({z\over x} = {y\over z}\)


Questo viene dal fatto che per definione dobbiamo avere \(z= \sqrt{xy}\) e quindi \(z^2 = xy\) e dividendo entrambi i lati per \(xz\) otteniamo la nostra relazione.


Quindi, prendendo il reciproco di entrambe le frazioni, otteniamo:


\({x\over z} = {z\over y}\)


Che possiamo scrivere in proporzione come:


\(x:z = z:y\)


Cioè \(z\) è medio proporzionale a \(x\) ed \(y.\)


Cosa significa? Significa che mentre nella media aritmetica ottenevamo il risultato a metà strada sommando, la media geometrica ci da il valore a metà strada moltiplicando.


Cioé, se prendo la media aritmetica tra \(2\) ed \(8\) ottengo \(5\) ed infatti sta a metà strada sommando:


\(5-2 = 8-5\)


Sia \(8\) che \(2\) distano \(3\) da \(5.\)


Quando invece andiamo a prendere la media geometrica, stiamo moltiplicando e non dividendo. Per questo ci esce \(4,\) che sta a metà strada tra \(2\) ed \(8\) moltiplicando:


\({4\over 2} = {8\over 4}\)


Se infatti moltiplico \(2\) per il rapporto tra la media geometrica ed esso (ovvero \(2\)), ottengo proprio la media \(4\) e se moltiplico di nuovo ottengo \(8.\)


Sia \(8\) che \(2\) distano un fattore \(2\) da \(4.\)

La media geomtrica tra \(3\) e \(7\) é:


\(M_g = \sqrt{3\cdot 7}= \sqrt{21}\)


Il rapporto tra la media geometrica e \(3\) vale \(\sqrt{7\over 3}.\) Se moltiplco due volte \(3\) per questo valore riottengo infatti \(7,\) per questo sta a metà strada moltiplicando.


Infatti, sia \(3\) che \(7\) distano un fattore \(\sqrt{7\over 3}\) da \(\sqrt{21}.\)



Media armonica


La media armonica è più rara da incontrare, ma è comunque bene studiarla. Ad esempio, compare nelle formule dei moti rettilinei uniformi consecutivi.


Se abbiamo \(n\) termini \(a_1,a_2,a_3,...,a_n,\) la loro media armonica si calcola come:


\(M_h = {n \over {1\over a_1} + {1\over a_2} + {1\over a_3} + ... + {1\over a_n}}\)


Abbiamo indicato la media armonica con \(M_h\) perché, per evitare confusioni con la \(a\) di arimtetica, abbiamo messo l'\(h\) di harmonic, cioé armonica in inglese.



Media quadratica


La media quadratica tra \(n\) termini \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\) viene calcolata come:


\(M_q = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 + ...+ {a_n}^2\over n }\)


La media quadratica viene usata, per esempio, nel calcolo dello scarto quadratico medio.



Disequazioni tra medie


Esistono delle famosissime ed utilissime disequazioni tra le medie che abbiamo appena studiato.


Prendiamo \(n\) termini positivi e chiamiamo \(M_a\) la loro media aritmetica, \(M_g\) la loro media geometrica, \(M_h\) la loro media armonica e \(M_q\) la loro media quadratica. Dovremo avere:


\(0 \leq M_h \leq M_g \leq M_a \leq M_q\)


Se vogliamo riscriverla utilizzando le formule per calcolare queste medie, se chiamiamo i nostri termini \(a_1,a_2,a_3,...,a_n,\) otteniamo:


\(0 \leq {n \over {1\over a_1} + {1\over a_2} +...+ {1\over a_n}}\) \(\leq \sqrt[n] {a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \leq {a_1 + a_2 +...+a_n \over n}\) \(\leq \sqrt{{a_1}^2 +{a_2}^2 +...+{a_n}^2 \over n}\)


In particolare, l'uguaglianza è verificata quando tutti i nostro termini sono uguali.


Se infatti prendiamo la media di un insieme di termini tutti uguali ad un certo valore \(x_0,\) qualsiasi delle medie che abbiamo studiato ci da come risultato proprio \(x_0,\) quindi l'uguaglianza tra le medie è verificata.


E' interessante studiare in particolare il caso della media fra solo due termini \(x\) ed \(y.\) In tal caso otteniamo:


\(0 \leq {2\over {1\over x}+{1\over y}} \leq \sqrt{xy}\)\(\leq {x+y\over 2} \leq \sqrt{x^2 + y^2 \over 2}\)


Molti problemi possono essere risolti sapendo che la media aritmetica è sempre maggiore o uguale della media geometrica e l'uguagliaza è verificata quando i termini sono tutti uguali.


Quest'ultima disequazione viene spessa chiamata la disequazione MA-MG (Media Aritmetica-Media Geometrica) e può essere utilizzata, per esempio, per dimostrare che fissato il perimetro di un rettangolo e facendo variare di conseguenza le sue dimensioni, quello con area maggiore è il quadrato.