Di seguito analizzeremo le varie tipologie di medie.
La media aritmetica è senza dubbio la tipologia di media più famosa e la più comune da usare.
Infatti, nella media aritmetica ogni singolo termine pesa nello stesso modo sul risultato finale ed è dunque ottima per la vita di tutti i giorni.
Se abbiamo n termini a_1, a_2, a_3, ... , a_n, la loro media aritmetica si calcola come la somma di essi divisa il numero di termini:
M_a = {a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n\over n}
Essa, però, non è l'unica media che possiamo prendere. Ne esistono molte altre, vediamo le principali:
Al contrario della media artimetica, che possiamo calcolare per qualsiasi insieme di numeri reali, la media geometrica necessita che tutti i termini siano positivi.
Se quindi abbiamo n numeri positivi a_1, a_2, a_3, ... a_n, la loro media geometrica si calcola come:
M_g = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n}
Cioè la radice ennesima del prodotto di tutti i termini. Vediamo un esempio. Calcoliamo la media geomtrica tra 2 e 8:
M_g = \sqrt{2\cdot 8} = \sqrt{16}= 4
Notiamo che al contrario della media aritmetica, il risultato non si trova a metà strada tra i due valori, ma si trova più vicino al più piccolo.
Infatti, la media geometrica da due valori x ed y è quel valore z tale che:
{z\over x} = {y\over z}
Questo viene dal fatto che per definione dobbiamo avere z= \sqrt{xy} e quindi z^2 = xy e dividendo entrambi i lati per xz otteniamo la nostra relazione.
Quindi, prendendo il reciproco di entrambe le frazioni, otteniamo:
{x\over z} = {z\over y}
Che possiamo scrivere in proporzione come:
x:z = z:y
Cioè z è medio proporzionale a x ed y.
Cosa significa? Significa che mentre nella media aritmetica ottenevamo il risultato a metà strada sommando, la media geometrica ci da il valore a metà strada moltiplicando.
Cioé, se prendo la media aritmetica tra 2 ed 8 ottengo 5 ed infatti sta a metà strada sommando:
5-2 = 8-5
Sia 8 che 2 distano 3 da 5.
Quando invece andiamo a prendere la media geometrica, stiamo moltiplicando e non dividendo. Per questo ci esce 4, che sta a metà strada tra 2 ed 8 moltiplicando:
{4\over 2} = {8\over 4}
Se infatti moltiplico 2 per il rapporto tra la media geometrica ed esso (ovvero 2), ottengo proprio la media 4 e se moltiplico di nuovo ottengo 8.
Sia 8 che 2 distano un fattore 2 da 4.
La media geomtrica tra 3 e 7 é:
M_g = \sqrt{3\cdot 7}= \sqrt{21}
Il rapporto tra la media geometrica e 3 vale \sqrt{7\over 3}. Se moltiplco due volte 3 per questo valore riottengo infatti 7, per questo sta a metà strada moltiplicando.
Infatti, sia 3 che 7 distano un fattore \sqrt{7\over 3} da \sqrt{21}.
La media armonica è più rara da incontrare, ma è comunque bene studiarla. Ad esempio, compare nelle formule dei moti rettilinei uniformi consecutivi.
Se abbiamo n termini a_1,a_2,a_3,...,a_n, la loro media armonica si calcola come:
M_h = {n \over {1\over a_1} + {1\over a_2} + {1\over a_3} + ... + {1\over a_n}}
Abbiamo indicato la media armonica con M_h perché, per evitare confusioni con la a di arimtetica, abbiamo messo l'h di harmonic, cioé armonica in inglese.
La media quadratica tra n termini a_1,a_2,a_3,...,a_n viene calcolata come:
M_q = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 + ...+ {a_n}^2\over n }
La media quadratica viene usata, per esempio, nel calcolo dello scarto quadratico medio.
Esistono delle famosissime ed utilissime disequazioni tra le medie che abbiamo appena studiato.
Prendiamo n termini positivi e chiamiamo M_a la loro media aritmetica, M_g la loro media geometrica, M_h la loro media armonica e M_q la loro media quadratica. Dovremo avere:
0 \leq M_h \leq M_g \leq M_a \leq M_q
Se vogliamo riscriverla utilizzando le formule per calcolare queste medie, se chiamiamo i nostri termini a_1,a_2,a_3,...,a_n, otteniamo:
0 \leq {n \over {1\over a_1} + {1\over a_2} +...+ {1\over a_n}} \leq \sqrt[n] {a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \leq {a_1 + a_2 +...+a_n \over n} \leq \sqrt{{a_1}^2 +{a_2}^2 +...+{a_n}^2 \over n}
In particolare, l'uguaglianza è verificata quando tutti i nostro termini sono uguali.
Se infatti prendiamo la media di un insieme di termini tutti uguali ad un certo valore x_0, qualsiasi delle medie che abbiamo studiato ci da come risultato proprio x_0, quindi l'uguaglianza tra le medie è verificata.
E' interessante studiare in particolare il caso della media fra solo due termini x ed y. In tal caso otteniamo:
0 \leq {2\over {1\over x}+{1\over y}} \leq \sqrt{xy}\leq {x+y\over 2} \leq \sqrt{x^2 + y^2 \over 2}
Molti problemi possono essere risolti sapendo che la media aritmetica è sempre maggiore o uguale della media geometrica e l'uguagliaza è verificata quando i termini sono tutti uguali.
Quest'ultima disequazione viene spessa chiamata la disequazione MA-MG (Media Aritmetica-Media Geometrica) e può essere utilizzata, per esempio, per dimostrare che fissato il perimetro di un rettangolo e facendo variare di conseguenza le sue dimensioni, quello con area maggiore è il quadrato.
Calcola la media aritmetica dei seguenti numeri: 5, 8, 12, 15, 7
9,4
La media aritmetica si calcola sommando tutti i numeri e dividendo la somma per il numero di elementi:
\frac{5 + 8 + 12 + 15 + 7}{5} = 9,4
9,4
Calcola la media geometrica dei seguenti numeri: 4, 8, 16
8
La media geometrica si calcola estraendo la radice n-esima (dove n è il numero di elementi) del prodotto di tutti i numeri:
\sqrt[3]{4 \cdot 8 \cdot 16}= \sqrt[3]{2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4} =\sqrt[3]{2^9} = 2^3 = 8
8
Calcola la media armonica dei seguenti numeri: 4, 8, 12
{72\over 11}
La media armonica si calcola come il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei numeri:
\frac{3}{\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12}} = {3\over {11\over 24}} = {72\over 11} ( \approx 6.5 )
72\over 11
Calcola la media quadratica dei seguenti numeri: 3, 6, 9
\sqrt{42}
La media quadratica si calcola come la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei numeri:
\sqrt{\frac{3^2 + 6^2 + 9^2}{3}} = \sqrt{42} (\approx 6.48 )
\sqrt{42}
Dimostra algebricamente la disequazione MA-MG nel caso n=2 (ricordati che entrambi i numeri devono essere positivi)
E' vero
Vogliamo dimostrare algebricamente che:
{a+b\over 2 }\geq \sqrt{ab}
Moltiplichiamo entrambi i lati per 2:
a+b\geq 2\sqrt{ab}
Siccome sia a che b sono positivi, possiamo elevare entrambi i lati della disequazione al quadrato:
a^2 + 2ab +b^2 \geq 4ab
a^2 - 2ab + b^2 \geq 0
Notiamo che a^2 - 2ab + b^2 è uguale a (a-b)^2, quindi sostituendo otteniamo:
(a-b)^2 \geq 0
(a-b)^2 è un quadrato e quindi è sempre positivo, quindi la disequazione è sempre verificata. Di conseguenza, anche la disequazione iniziale è sempre verificata, come volevasi dimostrare.
Inoltre notiamo che la disuguaglianza è un'uguaglianza quando a-b = 0, cioè quando a=b, come avevamo detto nella lezione.
E' vero