Limiti notevoli

Cosa sono i limiti notevoli?

Come nel caso dei prodotti notevoli, i limiti notevoli ci permettono di semplificare e velocizzare i calcoli, in modo da risolvere velocemente i nostri limiti:

Solitamente, per risolvere un limite, la strada più veloce è quella di semplificare

Facciamo un esempio:

\displaystyle \lim_{x \to 3} 2x = 2\cdot 3 = 6

In questo caso abbiamo potuto usare le proprietà dei limiti (lezione qui), ma non sempre questo è possibile. Molte volte, quando ci capitano dei limiti indeterminati, è comunque possibile risolverli con semplificazioni e sostituzioni senza ricorrere ai limiti notevoli come nel seguente esempio:

\displaystyle \lim_{x \to 0} {x^2 \over x} = \displaystyle \lim_{x \to 0} x = 0

Ricordatevi che abbiamo potuto fare ciò perché anche se x tende a 0, non è uguale a 0, è questo il punto di usare un limite, dunque abbiamo potuto semplificare.

A volte però possiamo incontrare delle forme indeterminate in cui appare difficile trovare delle semplificazioni, come in questo caso:

\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin(x)\over x}

Nell'esempio qui sopra otteniamo una frazione del tipo {0\over 0} e non sembrano esserci semplificazioni veloci.

Come usare i limiti notevoli

Ci vengono quindi in aiuto i limiti notevoli. I limiti notevoli sono una serie di limiti speciali di cui conosciamo già il risultato. Il limite dell'esempio precedente, è uno di questi e il suo risultato è sempre 1:

\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin(x)\over x} = 1

Quindi se otteniamo qualcosa del tipo:

\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin(x) \cos(x)\over 2x}

Possiamo facilmente ricondurlo al limite notevole di prima usando le proprietà dei limiti:

\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin(x) \cos(x)\over 2x} =\displaystyle \lim_{x \to 0}{\sin(x)\over x} \cdot \displaystyle \lim_{x \to 0}{\cos(x)\over 2}= 1 \displaystyle \cdot \displaystyle {1\over 2} = {1\over 2}

Poi per ottenere il risultato ci siamo anche basati sul fatto che il coseno di 0 è sempre 1 (\cos(0)=1)

Imparare tutti i limiti notevoli può richiedere un po' di tempo, ma sono molto utili, quindi è bene conoscerli. Vediamo quindi anche gli altri:

\displaystyle \lim_{x \to 0}{{\ln(1+x)\over x}}=1

Se fossimo andati a sostituire, sapendo che \ln(1)=0 avremmo ottenuto una forma indeterminata. Questo limite notevole può essere generalizzato per qualsiasi base del logaritmo. Dimostriamolo usando la formula per il cambiamento di base:

\displaystyle \lim_{x \to 0}{{\log_{a}(1+x)\over x}}=\displaystyle \lim_{x \to 0}{{\ln(1+x)\over \ln(a)\cdot x}}=\displaystyle {1\over \ln(a)}

Dal logaritmo ora passiamo all'esponenziale:

\displaystyle \lim_{x \to 0}{{e^x -1\over x}}=1

Per una base in generale abbiamo invece che:

\displaystyle \lim_{x \to 0}{{a^x -1 \over x}}=\ln(a)

Ricordatevi di questi due limiti perchè li rivedremo quando parleremo della derivata di una funzione esponenziale (niente panico se non vi dice niente).

Il seguente limite sfrutta un concetto che vedremo più avanti nella dimostrazione della derivata di una funzione polinomiale (niente panico se pure questo non vi dice niente):

\displaystyle \lim_{x \to 0}{(1+x)^a-1\over x}=a

Limiti notevoli di funzioni trigonometriche

Prima avevamo visto un limite con \sin(x), quindi ora guardiamo anche alle altre funzioni trigonometriche:

\displaystyle \lim_{x \to 0}{1 -\cos(x)\over x^2}={1\over 2}

Ricordatevi che questa volta non c'è x ma x^2, è una grande differenza. Passando alla tangente:

\displaystyle \lim_{x \to 0}{\tan(x)\over x}=1

Questo limite in realtà può essere facilmente calcolato utilizzando il limite notevole del seno :

\displaystyle \lim_{x \to 0}{\tan(x)\over x}= \displaystyle \lim_{x \to 0}{\sin(x)\over \cos(x)\cdot x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}{\sin(x)\over x} \cdot \displaystyle \lim_{x \to 0}{1\over \cos(x)}=1

I limiti notevoli del seno e della tangente valgono anche per l'arcoseno e per l'arcotangente:

\displaystyle \lim_{x \to 0}{\arcsin(x)\over x}=1

\displaystyle \lim_{x \to 0}{\arctan(x)\over x}=1

I limiti delle loro corrispettive funzioni iperboliche sono uguali:

\displaystyle \lim_{x \to 0}{\sinh(x)\over x}=1

\displaystyle \lim_{x \to 0}{1-\cosh(x)\over x^2}={1\over 2}

\displaystyle \lim_{x \to 0}{\tanh(x)\over x}=1

Limite di Bernoulli

Abbiamo tenuto uno dei limiti notevoli più famosi per ultimo perché vorremmo parlarne più approfonditamente.

Quando avete studiato la funzione esponenziale, avete incontrato il numero di Nepero, e. Questo numero è arrivato un po' a caso, vi è solo stato detto che è utile nelle funzioni esponenziali.

In questa lezione non vi spiegheremo perché è la base migliore da usare nelle funzioni esponenziali, ma vi mostreremo una proprietà particolare di e. Talvolta e viene addirittura definito partendo da questa sua caratteristica.

Qualche secolo fa, un matematico di nome Bernoulli stava cercando di risolvere un problema:

"Io do una moneta ad una banca e devo scegliere tra una serie di tipologie di interessi, quale mi conviene affinchè alla fine dell'anno abbia più soldi possibili?"

Ta quali tipi di interessi possiamo scegliere?

Possiamo avere un interesse del 100\% che viene applicato alla fine dell'anno. Quindi alla fine avremo due monete.

Oppure possiamo avere un interesse pari alla metà, ovvero il 50\%, ma che viene applicato due volte durante l'anno. Quindi a metà anno il nostro capitale diventerà pari a 1,5 monete e alla fine dell'anno avremo 2,25 monete. Più del caso precedente.

Oppure possiamo anche avere un interesse pari ad un terzo ma che viene applicato tre volte durante l'anno. O uno pari ad un millessimo ma che viene applicato mille volte durante l'anno.

Quindi ogni volta andiamo a diminuire l'interesse ma lo applichiamo più e più volte. Se andiamo a calcolare i primi casi a mano, notiamo che aumenta sempre di più.

Se indico con x il numero di volte che applico l'interesse, quest'ultimo sarà uguale a {1\over x} (questo perché l'interesse è uguale a quello iniziale (1) diviso per x perché abbiamo deciso così all'inizio)

Dunque il capitale finale è uguale all'interesse più 1 moltiplicato x volte, ovvero a (1+{1\over x})^x.

Se abbiamo detto che aumenta sempre di più, il massimo sarà quando x tende ad infinito, ovvero:

Massimo = \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{(1+{1\over x})^x}

Se andiamo ad aumentare sempre di più x, notiamo che il valore si stabilizza intorno a 2,718281828459045..., si tratta proprio di e. Quindi l'ultimo limite notevole di questa lezione è proprio:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}{(1+{1\over x})^x}=e

Che può essere generalizzato in:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}{(1+{a\over x})^{bx}}=e^{ab}