Iperbole

Di seguito analizzeremo l'iperbole.

Cos'è

Asintoti

Equilatera

Traslata

Iperbole vs ellisse

Riferita agli asintoti

Funzione omografica


Cos'è un'iperbole


L'iperbole viene definita come il luogo geometrico dei punti per cui la differenza tra le distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.


L'iperbole è una conica perché può essere ottenuta dall'intersezione di un cono con un piano parallelo al suo asse di rotazione.

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Se quindi il punto lo chiamiamo \(P\) e gli diamo coordinate variabili \((x,y)\) e chiamiamo i due fuochi \(F_1\) e \(F_2,\) dovremo avere:


\(d(P,F_1) - d(P,F_2)=k\)


Dove \(d(P,F_1)\) indica la distanza tra \(P\) e \(F_1.\)


Se chiamiamo le coordinate di \(F_1\) e \(F_2,\) rispettivamente, \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2),\) utilizzando la formula per la distanza tra due punti otteniamo:


\(\sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} - \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2} = k\)


Nel caso in cui i due fuochi si trovino sull'asse \(x\) e siano simmetrici rispetto all'origine, effettuando dei passaggi algebrici, possiamo riportare quest'equazione alla seguente forma:


\({x^2\over a^2}- {y^2 \over b^2} = 1\)


Con \(a\) e \(b\) maggiori di \(0.\)


Dove \(2a\) è la distanza tra i due vertici dell'iperbole, chiamato asse trasverso, o asse orizzontale.


Infatti, i vertici dell'iperbole di questo tipo sono \(V_1 = (a;0)\) e \(V_2= (-a;0):\)

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\(2b\) è invece l'asse non trasverso.


Se quindi i fuochi hanno coordinate \(F_1=(c,0)\) e \(F_2=(-c,0),\) l'asse focale (cioè la distanza tra i due fuochi) varrà \(2c.\)


Si può dimostrare che, come per l'ellisse, esiste un legame tra questi \(3\) assi. Infatti dobbiamo avere:


\(c^2 = a^2 + b^2\)


Siccome rappresentato lunghezze di segmenti, devono tutte essere quantià positive, quindi possiamo prendere la radice quadrata senza dover prendere il modulo:


\(c= \sqrt{a^2 + b^2}\)


Se invece i fuochi si trovano sull'asse delle \(y\) ma sono comunque simmetrici rispetto all'origine, l'equazione diventa:


\({y^2\over b^2}- {x^2 \over a^2} = 1\)


Che però viene solitamente riscritta come:


\({x^2\over a^2} -{y^2 \over b^2} = -1\)


In tal caso, i vertici si troveranno sull'asse delle \(y\) ed avranno coordinate \(V_1=(0;b)\) e \(V_2=(0;-b):\)

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In questo caso, infatti, l'asse traverso varrà \(2b,\) mentre l'asse non trasverso sarà \(2a\) .


I fuochi avranno quindi coordinate \(F_1 = (0,c)\) e \(F_2 = (0,-c),\) quindi l'asse focale rimane \(2c\) e la formula che lega i \(3\) assi rimane la stessa:


\(c= \sqrt{a^2 + b^2}\)


Notate che, per un singolo valore della \(x,\) abbiamo più valori della \(y,\) questo significa che questa non è una funzione.

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Inoltre è presente un gap se l'iperbole ha i vertici sull'asse \(x\):

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Questo avviene perché quando si isola la \(y,\) essendo essa elevata al quadrata, bisogna prendere la radice quadrata e si può dimostrare che per le \(x\) tra i due vertici, otteniamo la radice quadrata di un numero negativo e dunque la \(y\) non è definita nei numeri reali.


Se i vertici invece sono sull'asse \(y,\) appare comunque un gap, ma sulle \(y\) e non sulle \(x:\)

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Come l'ellisse, anche l'iperbole possiede un'eccentricità \(e\). Essa si calcola sempre come il rapporto tra il semiasse focale e il semiasse trasverso:


\(e = {c\over a}\)


Questa volta però la formula per che lega il semiasse focale al semiasse trasverso e al semiasse non trasverso è diversa. Infatti abbiamo:


\(c^2 = a^2 + b^2 \)


Quindi otteniamo:


\(e = {\sqrt{a^2 + b^2} \over a}\)


Nel caso in cui i fuochi stiano sull'asse delle \(x.\) Se invece stanno sull'asse delle \(y,\) il semiasse trasverso diventa \(b\) e quindi la formula diventa:


\(e= {c\over b} = {\sqrt{a^2 + b^2}\over b}\)


Notiamo che il numeratore è sempre maggiore del denominatore, dunque l'eccentricità è sempre maggiore di \(1:\)


\(e > 1\)


Quando l'eccentricità si avvicina ad \(1,\) l'iperbole si schiaccia sempre di più sull'asse su cui stanno i fuochi:

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Iperbole con fuochi sull'asse \(x\) molto eccentrica

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Iperbole poco eccentrica


Asintoti dell'iperbole


L'iperbole presenta due asintoti. Ricordiamo che l'asintoto è una retta che approssima sempre di più la funzione per la \(x\) che tende ad un certo valore (che può anche essere \(+\infty\) o \(-\infty\)) senza però essere uguale alla funzione.


Per esempio, la funzione \(f(x) = {1\over x^2}\) ha come asintoto verticale la retta \(x=0:\)

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La nostra iperbole, invece, presenta due asintoti obliqui:

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Infatti, quando la \(x\) tende a \(+\infty\) o a \(-\infty\), l'iperbole si avvicina sempre di più a quella retta.


Nel caso in cui i fuochi siano sull'asse delle \(x,\) questo avviene perché quando andiamo ad isolare la \(y,\) otteniamo:


\({x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1\)


\(y^2 = {b^2 \over a^2} x^2- b^2\)


\(y= \pm \sqrt{{b^2 \over a^2} x^2 - b^2}\)


Quando la \(x\) diventa molto molto grande, \({b^2 \over a^2}x^2\) diventa estremamente più grande di \(b^2,\) quindi alla fine \({b^2 \over a^2}x^2 -b^2\) diventa quasi \({b^2 \over a^2}x^2\)


E dunque quando la \(x\) diventa molto grande otteniamo:


\(y \approx \pm \sqrt{{b^2 \over a^2 }x^2}\)


\(y \approx \pm {b\over a} |x|\)


Essendoci il più o meno davanti, diventa intuile quel modulo, quindi possiamo toglierlo ed ottenere:


\(y \approx \pm {b\over a}x\)


Quindi, quando la \(x\) diventa molto grande, la \(y\) si avvicina sempre di più a questa retta, perché più è grande la \(x\) e più è trascurabile il \(-b^2\) e quindi l'approssimazione diventa migliore.


Infatti, l'equazione degli asintoti sono:


\(y= {b\over a}x\)


\(y= -{b\over a}x\)


Possiamo ricombinare l'equazione delle due rette in un unica equazione come prima:


\(y= \pm {b\over a}x\)


Oppure lasciarle separate per indicare meglio che sono due rette, quello dipende da voi e dal contesto.

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Questa rimane l'equazione degli asintoti anche nel caso in cui i fuochi siano sull'asse delle \(y.\)

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Questo perché quando andate a fare i calcoli, l'unica cosa che cambia è che al posto di trovare \(-b^2\) trovate \(+b^2,\) ma siccome viene trascurato, non cambia l'equazione.


Notate che per tracciare gli asintoti, potete disegnare un rettangolo di larghezza \(a\) e altezza \(b\) incentrato nell'origine e tracciare le rette che passano per le due diagonali. Si può dimostrare facilmente che queste due rette sono infatti gli asintoti.



Iperbole equilatera


Sappiamo che le equazioni degli asintoti dell'iperbole sono:


\(y= \pm {b\over a}x\)


Dunque, se abbiamo \(a=b,\) otteniamo:


\(y= \pm x\)


Dunque il primo asintoto sarà la retta:


\(y=x\)


e il secondo sarà:


\(y=-x\)


Il prodotto dei coefficienti angolari delle due rette è uguale a \(-1,\) questo ci dice che i due asintoti sono perpendicolari:

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Infatti, quando andiamo a disegnare il rettangolo per tracciare gli asintoti, siccome i lati sono uguali, otteniamo un quadrato e le diagonali di un quadrato sono perpendicolari tra loro.


Questa tipologia di iperbole viene chiamata iperbole equilatera.



Iperbole traslata


Come le altre coniche, possiamo traslare l'iperbole all'interno del piano cartesiano. Non studieremo, però, per ora, rotazioni dell'iperbole. Dunque i fuochi saranno spostati da uno stesso vettore \(\overrightarrow{v}:\)

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Tutti gli altri punti del piano saranno traslati secondo lo stesso vettore \(\overrightarrow{v}:\)

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Quindi, se il vettore ha componenti \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_c \\ y_c \end{pmatrix}\), l'origine (che era il centro dell'iperbole prima di essere traslata) finirà sul punto \((x_c, y_c)\) (per questo abbiamo messo una \(c\) come pedice, sta per centro).

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Quindi l'equazione dell'iperbole, nel caso in cui i fuochi fossero inizialmente sull'asse \(x,\) diventerà:


\({(x-x_c)^2\over a^2} - {(y-y_c)^2 \over b^2} = 1\)


Mentre se i fuochi erano sull'asse delle \(y,\) diventerà:


\({(x-x_c)^2 \over a^2} - {(y-y_c)^2 \over b^2} = -1\)



Distinguere tra iperbole ed ellisse


Spesso vi viene data un'equazione che assomiglia a quella dell'iperbole ma con dei parametri \(k\), ad esempio:


\({x^2 \over 2k} - {y^2 \over k-2} = 1\)


Mentre nell'equazione canonica delle due coniche avevamo \(a^2\) e \(b^2\) al denominatore, questa volta abbiamo \(2k\) e \(k-2,\) che non sono quadrati e dunque possono essere negativi.


Dunque, facendo variare \(k\) potremmo ottenere delle iperboli e delle ellissi. Per esempio, se mettiamo \(k=1,\) otteniamo:


\({x^2 \over 2} - {y^2 \over -1 } = 1\)


\({x^2 \over 2} + y^2 = 1\)


Si tratta dell'equazione di un'ellisse. Se però mettiamo \(k= 4\) otteniamo:


\({x^2 \over 2\cdot 4} - {y^2 \over 4-2} = 1\)


\({x^2 \over 8} - {y^2 \over 2} = 1\)


Si tratta dell'equazione di un'iperbole. Dunque vi può essere chiesto di determinare per quali valori di \(k\) troviamo un'ellisse e per quali troviamo un'iperbole.


L'unica cosa che differenzia l'ellisse dall'iperbole è che i coefficienti nell'equazione dell'ellisse sono tutti positivi, mentre nell'iperbole dobbiamo avere segni alternati. O il coefficente di \(x^2\) è positivo e quello di \(y^2\) negativo, oppure il contrario.


Se i coefficienti hanno segno opposto, il loro prodotto sarà negativo. Quindi per sapere quando si tratta di un'iperbole, ci basta trovare quando il prodotto dei coefficienti è negativo.


Attenzione, possibili segni \(-\) davanti alle frazioni fanno parte dei coefficienti. Nel nostro esempio, quindi, il coefficiente di \(y^2\) non è \({1\over k-2},\) ma è \(- {1\over k-2},\) ovvero \({1\over 2-k}.\) Fate attenzione perché se sbagliate questo sbaglierete tutto l'esercizio.


Dunque, nel nostro esempio dobbiamo vedere quando:


\((2k) \cdot (2-k) < 0\)


Per risolvere questa disequazione basta disegnare il grafico dei segni ed ottenere che le soluzioni sono:


\(k < 0 \vee k > 2 \)


Per sapere quando si tratta di un'iperbole, dobbiamo avere che entrambi i coefficienti devono essere positivi. Attenzione, non basta dire che il loro prodotto deve essere maggiore di \(0.\)


Se infatti i coefficienti di \(x^2\) e di \(y^2\) sono entrambi negativi, il loro prodotto è positivo, ma non otteniamo un'ellisse. Se infatti otteniamo qualcosa come:


\(-x^2 - y^2 = 1\)


Se moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per \(-1\) otteniamo:


\(x^2 + y^2 = -1\)


Ma siccome un quadrato è sempre positivo, è impossibile che la somma di due quadrati dia \(-1\) e non esistono punti nel piano cartesiano che soddisfano l'equazione.


Dunque, nell'esempio di prima, per determinare quando abbiamo un'ellisse dobbiamo risolvere il seguente sistema:


\( \left\{\begin{matrix} 2x >0\\ 2-x >0 \end{matrix}\right.\)


\( \left\{\begin{matrix} x >0\\ x < 2 \end{matrix}\right.\)


Dunque otterremmo un'ellisse quando \( 0 < x < 2\) ed abbiamo risolto l'esercizio.



Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti


Oltre che a traslare l'iperbole, possiamo anche ruotarla. In generale, però, risulta abbastanza complicato. Per questo studieremo un caso particolare.


Supponiamo perciò che l'iperbole sia equilatera e che la rotazione sia di esattamente \(45°.\)


Per ora supponiamo che abbia i fuochi sull'asse delle \(x,\) ma se fossero sull'asse delle \(y\) il ragionamento sarebbe più o meno lo stesso.

Siccome l'iperbole è stata girata di \(45°,\) i fuochi non staranno più sull'asse delle \(x,\) ma sulla retta con equazione \(y=x:\)

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L'iperbole è equilatera, quindi il semiasse trasverso deve essere uguale al semiasse non trasverso, cioè \(a=b.\) Di conseguenza il semiasse focale sarà:


\(c= \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + a^2}=\) \(\sqrt{2a^2} = \sqrt{2} a\)


Siccome i fuochi si trovano sulla retta \(y=x,\) le due coordinate dei fuochi dovranno essere uguali (cioè saranno del tipo \((k,k)\)). Da questo otteniamo che la lunghezza del semiasse focale, cioé la distanza dei fuochi dal centro, equivale alla diagonale di un quadrato con lato le coordinate dei fuochi:

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Dunque, siccome il lato di un quadrato equivale alla diagonale divisa per \(\sqrt{2},\) le coordinate del primo fuoco dovranno essere \((a,a).\)


Siccome il secondo fuoco deve essere simmetrico al primo rispetto all'origine, dovrà avere coordinate \((-a,-a).\)


Se quindi si va ad applicare la definzione dell'iperbole, otteniamo:


\(d(P, F_1) + d(P, F_2) = 2a\)


Dove \(P\) sarebbe un punto generico \(x,y\) appartenente all'iperbole. Usando la formula per la distanza tra due punti otteniamo quindi:


\(\sqrt{(x-a)^2 + (y-a)^2} + \sqrt{(x+a)^2 + (y-a)^2 } = 2a\)


Effettuando vari passaggi algebrici, otteniamo:


\(xy = {a^2 \over 2}\)


Se ora richiamiamo \({a^2 \over 2}\) come \(k\) otteniamo l'equazione che eravate abituati a vedere:


\(xy=k\)


Volendo possiamo pure riscriverla come:


\(y= {k\over x}\)


Quindi le coordinate dei punti dell'iperbole sono inversamente proporzionali.


Come trovare i vertici di questa iperbole conoscendo solo \(k?\) I vertici, dovendo essere allineati con i fuochi, dovranno trovarsi sulla retta \(y=x.\) Quindi avranno coordinate \(V_1 = (t,t)\) e \(V_2=(-t,-t).\)


Dunque, sostituendo nell'equazione, otteniamo:


\(xy=k\)


\(t\cdot t=k\)


\(t^2 = k\)


\(t= \pm \sqrt{k}\)


Le due \(t\) trovate saranno appunto le coordinate dei vertici.


Notiamo un'altra cosa: prima di ruotare l'iperbole, gli asintoti di essa, siccome era un'iperbole equilatera, erano perpendicolari tra loro ed inclinati di \(45°\) rispetto agli assi cartesiani. Quando quindi andiamo a ruotare l'iperbole, aggiungiamo altri \(45°\) e gli asintoti finiscono sugli assi cartesiani:

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Siccome gli asintoti delle iperboli di questa forma sono proprio gli asssi cartesiani, spesso vengono chiamate iperboli equilatere riferite ai propri asintoti.


Adesso che abbiamo ruotato l'iperbole, ad ogni valore della \(x\) corrispone uno ed un soltanto valore della \(y,\) dunque è diventata una funzione.

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Infine, ricordiamoci che avevamo definito \(k\) come \({a^2 \over 2},\) dunque \(k\) deve essere sempre positivo. Se però supponevamo che i fuochi fossero sull'asse delle \(y,\) allora ottenevamo un \(-\) e quindi \(k\) doveva essere sempre negativo.


Se andiamo a ruotare di \(45°\) un'iperbole con i fuochi sull'asse delle \(y,\) essa finisce nel secondo e quarto quadrante:

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Mentre se inizialmente stavano sull'asse delle \(x\) finisce nel primo e terzo quadrante:

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Questo significa che quando \(k\) è positivo, l'iperbole si trova nel primo e terzo quadrante, quando è negativo essa si trova nel secondo e quarto quadrante.



Funzione omografica


Se prendiamo un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e trasliamo il suo centro ad un punto \((x_c,y_c),\) l'equazione diventa:


\(y-y_c = {k \over x -x_c}\)


\(y = {k\over x -x_c} + y_c\)


\(y= {k + xy_c - x_cy_c \over x - x_c}\)


Possiamo poi moltiplicare sopra è sotto per una costante \(c\) diversa da \(0\) e richiamiare alcune costanti per ottenere qualcosa della forma:


\(y = {ax + b\over cx + d}\)


Una funzione di questo tipo viene chiamata funzione omografica.


Tutte le funzioni omografiche sono iperboli? Non tutte, infatti, come abbiamo detto prima, \(c\) deve essere diverso da \(0,\) altrimenti otteniamo:


\(y= {ax + b \over d}\)


Che è una retta. Inoltre, il numeratore non deve essere un multiplo del denominatore. Se infatti l'equazione fosse:


\(y = {2x + 2 \over x + 1}\)


Lo potremmo riscrivere come:


\(y = 2 \cdot {x+1 \over x+1}\)


E supponendo \(x+1\) diverso da \(0,\) possiamo semplificare ed ottenere:


\(y = 2\)


Quindi sarebbe una retta orizzontale che però non è definita quando \(x\) è uguale a \(-1\) (perché \(x+1\) deve essere diverso da \(0\)).


Come sapere quando il numeratore è un multiplo del denominatore? Si può dimostrare che questo avviene quando \(ad - bc = 0.\)


Quindi, affinché sia un'iperbole dobbiamo avere:


\(c \neq 0\)


e


\(ad - bc \neq 0\)


Come trovare gli asintoti della funzione omografica? Siccome si tratta soltanto di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata, avrà un asintoto verticale ed uno orizzontale:

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L'asintoto verticale avviene quando il denominatore è uguale a \(0.\) Infatti, siccome non si può dividere per \(0,\) in quel punto non è definita la funzione e tenderà a \(+\infty\) da una parte e a \(-\infty\) dall'altra:

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Il denominatore è \(cx + d,\) quindi esso è uguale a \(0\) quando:


\(cx+d=0\)


\(x = -{d\over c}\)


Quindi l'asintoto verticale sarà la retta \(x= -{d\over c}.\)


L'asintoto orizzontale sarà del tipo \(y=k,\) dove \(k\) è il valore a cui la funzione si avvicina sempre di più quando \(x\) tende a \(+\infty\) o a \(-\infty :\)

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Quindi dobbiamo risolvere il seguente limite:


\(k = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} {ax + b \over cx + d}\)


Quando la \(x\) diventa molto molto grande, \(ax\) diventa estremamente più grande di \(b.\) Ad esempio, se abbiamo \(b=1\) ed \(a=1,\) quando la \(x\) è uguale a \(10\) miliardi abbiamo:


\(ax + b = 10'000'000'000 + 1 = 10'000'000'001\)


E più grande sarà la \(x\) e più \(b\) sarà trascurabile, quindi quando la \(x\) tende ad infinito, possiamo ignorarlo. Lo stesso accade per il denominatore. Abbiamo quindi:


\( k = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} {ax \over cx}\)


Possiamo quindi semplificare le \(x\) ed ottenere:


\(k = \displaystyle \lim_{x \to + \infty} {a\over d} = {a\over d}\)


Dunque l'asintoto orizzontale sarà la retta \(y={a\over d}\)


I due asintoti si intersecano sempre nel centro dell'iperbole, quindi una volta trovati gli asintoti possiamo trovare subito il centro.


Vediamo un esempio. Verichiamo che la funzione omografica \(y= {3x + 1\over x + 2}\) sia un'iperbole e troviamo i suoi asintoti.


Affinchè si tratti di un'iperbole, dobbiamo avere \(c\neq 0,\) che è verificato e anche:


\(ad - bc \neq 0\)


Ovvero:


\(3\cdot 2 - 1\cdot 1 \neq 0\)


\(6-1 \neq 0\)


\(5 \neq 0\)


che ovviamente è vero, dunque entrambe le condizioni sono verificate e si tratta dunque di un'iperbole.


Per trovare l'asintoto verticale, dobbiamo guardare quando il denominatore è uguale a \(0,\) ovvero:


\(x+1=0\)


\(x = -1\)


Quindi l'asintoto verticale sarà la retta \(x = -1.\)


Per trovare l'asintoto orizzontale, invece, dobbiamo calcolare il rapporto dei coefficienti. Avremo quindi:


\(y = {a\over d} = {3\over 1}= 3\)


Dunque l'asintoto orizzontale è la retta \(y= 3.\) Il centro dell'iperbole sarà il punto di intersezione tra i due asintoti, ovvero il punto di coordinate \((-1; 3).\)


Sapendo tutte queste informazioni, possiamo tracciare un grafico approssimativo dell'iperbole:

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