Insiemi

Di seguito analizzeremo gli insiemi.

Cos'è

Notazione

Operazioni


Cos'è un insieme?


Un insieme è un raggruppamento di più cose, chiamate elementi.


Questi elementi possono essere qualsiasi cosa, per questo si tratta di un argomento molto vasto in matematica. Ora noi ci limiteremo, però, a definirli capendo bene cosa sono e ad osservare come più insiemi possono relazionarsi tra di loro.


Gli insiemi vengono solitamente indicati con delle lettere maiuscole, mentre per i suoi elementi useremo delle lettere minuscole.


Se un insieme \(A\) contiene un elemento \(a\) si dice che \(a\) appartiene ad \(A\) e si scrive:


\(a \in A\)


Se invece non appartiene ad \(A\) si scrive:


\(a \notin A\)


Abbiamo detto che tutti gli insiemi sono dei raggruppamenti, però non tutti i raggruppamenti sono insiemi. Devono infatti essere verificate queste due condizioni:


Deve essere determinabile se un elemento appartiene o no all'insieme.


Non ci devono essere più copie dello stesso elemento.


Quindi, ad esempio, il raggruppamento dei "film belli" non è un insieme, perché non esiste un criterio per determinare se un film è bello perché dipende dai gusti di ogni individuo. Magari a qualcuno piacciono i film d'azione ma non le commedie, mentre a un altro piacciono solo i film horror.


Per la seconda condizione, poi, il raggruppamento dei numeri \(5,3,9\) e \(3\) non è un insieme perché c'è un doppione, il \(3\) appare infatti due volte.


Se però leviamo uno dei \(3,\) ci rimane il raggruppamento dei numeri \(5,3\) e \(9\) che è un insieme perché ogni elemento compare una sola volta e si può facilmente determinare se un elemento appartiene o no all'insieme: se è uguale a \(5,\) a \(3\) o a \(9\) appartiene all'insieme, altrimenti no.


Se abbiamo un insieme possiamo definirlo a parole. Ad esempio, possiamo definire un insieme \(B\) come "l'insieme di tutti i numeri positivi dispari minori di \(4\)". Gli elementi di \(B\) sarebbero dunque \(1\) e \(3\) ed avremo quindi:


\(1 \in B\)


\( 3 \in B\)


La matematica è però molto rigorosa, quindi è meglio usare il matematichese per definire l'insieme piuttosto che definirlo a parole. Più avanti vedremo come si fa.



Notazione


Se abbiamo un insieme con un numero finito di elementi, possiamo utilizzare un diagramma di Venn oppure possiamo elencare tutti i suoi elementi.


I diagrammi di Venn sono utili per visualizzare bene le operazioni tra insiemi, però è un po' complicato lavorarci quando si passa ad argomenti più avanzati e si comincia ad utilizzare il seguente metodo:


Rappresentiamo l'insieme come la lista dei suoi elementi racchiusa tra parentesi graffe. Gli elementi della lista vengono divisi da punto e virgola.


Nell'esempio di prima, avremo che possiamo scrivere l'insieme \(B\) come:


\(B= \left \{ 1;3 \right \}\)


Alcuni insiemi possono contenere moltissimi elementi, quindi potrebbere essere un po' scomodo mettersi a scriverli tutti quanti.


Un insieme potrebbe anche avere un numero infinito di elementi, dunque dobbiamo trovare un modo alternativo per definirlo.


Siccome si tratta di insiemi, deve esistere un criterio che ci permette di determinare se un elemento appartiene o no all'insieme, dunque possiamo mettere il criterio scritto tra parentesi graffe.


Nel nostro esempio quindi avremo:


\(B = \left \{ x \in \mathbb{N} : x = 2n-1 \wedge x < 4, n \in \mathbb{N}\right \}\)


Può sembrare molto più lungo del metodo di prima, ma ci semplifica la vita con altri insiemi più grandi. Se ad esempio vogliamo indicare l'insieme \(P\) di tutti i numeri naturali pari, possiamo scriverlo come:


\(P = \left \{x \in \mathbb{N} : x=2n, n \in \mathbb{N} \right \}\)



Diagrammi di Venn ed operazioni tra insiemi


I diagrammi di Eulero-Venn, solitamente abbreviati in "diagrammi di Venn", funzionano nel seguente modo:


Racchiudiamo in un ovale (o in un cerchio) gli elementi dell'insieme rappresentati da dei punti:

Insieme

Tutto qua! Grazie ad essi possiamo visualizzare cosa sia un sottoinsieme di un insieme:


Un insieme \(A\) è un sottoinsieme di un insieme \(B\) se ogni elemento di \(A\) appartiene anche a \(B\):

Sottinsieme

Quindi \(A\) è un sottoinsieme di \(B\) se è totalmente contenuto in \(B\) e si scrive:


\(A \subset B\)


Passiamo quindi all'unione di due insiemi:


Disegnamo due insiemi \(A\) e \(B\) inserendo nella loro intersezione gli elementi che hanno in comune. L'unione tra \(A\) e \(B\) equivale ad un insieme \(C\) con tutti gli elementi di \(A\) e \(B\) presi una sola volta:

Unione di due insiemi

e si scrive:


\(A \cup B = C\)


Abbiamo effettuato quel passaggio intermedio per evitare di prendere due volte gli elementi che appartengono sia ad \(A\) che a \(B\) (nel nostro caso erano \(a\) e \(d\)).


Infine osserviamo l'intersezione fra due insiemi:


Come prima, disegnamo due insiemi \(A\) e \(B\) inserendo nella loro intersezione gli elementi che hanno in comune. L'intersezione di \(A\) e \(B\) equivale ad un insieme \(C\) con solo gli elementi in comune tra \(A\) e \(B:\)

Intersezione di due insiemi

e si scrive:


\(A \cap B = C\)


Nell'unione prendiamo tutti gli elementi, nell'intersezione solo quelli in comune.