Grafico delle funzioni goniometriche

Di seguito analizzeremo i grafici delle funzioni goniometriche

Seno e coseno

Tan e cot

Ampiezza, periodo e fase


Seno e coseno


Le funzioni seno e coseno hanno entrambe periodo \(2\pi,\) dunque ci basterà trovare il grafico tra \(0\) e \(2\pi\) e poi ripeterlo.


Il seno di \(0\) è uguale a \(0,\) quindi il suo grafico passa per l'origine. Raggiunge al massimo a \(\pi\over 2\) quando è uguale ad \(1,\) torna ad essere \(0\) quando arriviamo a \(\pi,\) raggiunge il minimo a \({3\pi\over 2}\) quando vale \(-1\) e a \(2\pi\) completa il periodo tornando a \(0:\)

Inserendo altri punti notiamo che si muove come un onda:

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Adesso che abbiamo trovato un periodo del grafico, ci basta ripeterlo per ottenere le altre parti:

Siccome \(\cos(x) = \sin({\pi\over 2} -x),\) il grafico del coseno sarà uguale a quello seno ma traslato.


Il coseno, infatti, invece che partire da \(0\) parte da \(1:\)

Inserendo altri punti otteniamo infatti:

Avendo completato il periodo, possiamo ripeterlo e disegnare le altre parti del grafico:

Notiamo che infatti, come abbiamo detto prima, si tratta del grafico di \(\sin(x)\) traslato di \({\pi\over 2}\) a sinistra.



Tangente e cotangente


La tangente e la cotangente hanno invece come periodo \(\pi.\) Quindi ci basterà fermarci a \(\pi\) e ripetere quello che abbiamo trovato.


La tangente di \(0\) è uguale a \(0,\) dunque il suo grafico passa per l'origine.


Tende a \(+\infty\) quando la \(x\) tende a \(\pi\over 2\) e poi salta a \(-\infty\) per poi tornare a \(0\) quando la \(x\) vale \(\pi,\) completando così il periodo:

tangente

Possiamo trovare le altre parti del grafico ripetendo il periodo:

tangente

Notiamo che quindi presenterà asintoti verticali a \({\pi\over 2} + 2k\pi\) dove \(k\) è un qualsiasi numero intero.


La cotangente, invece, parte a \(+\infty,\) arriva a \(0\) quando la \(x\) vale \({\pi\over 2}\) e tende a \(-\infty\) quando la \(x\) tende a \(\pi:\)

cotangente

Ripetendo il periodo otteniamo:

cotangente

Quindi la cotangente avrà asintoti verticali \(x= \pi + 2k\pi\) dove \(k\) è un qualsiasi numero intero.



Ampiezza, periodo e fase


Abbiamo visto che il seno e il coseno sono sempre compresi tra \(1\) e \(-1.\) Se però moltiplichiamo il tutto per \(2,\) allora sarà compreso tra \(2\) e \(-2:\)

2coseno

Il coefficiente davanti al seno o al coseno ci dice quindi il massimo e il minimo della funzione e viene chiamato ampiezza.


Se quindi prendiamo la funzione \(f(x)=5\sin(x),\) la sua ampiezza sarà \(5\) e il suo grafico sarà:

5seno

Oltre a mettere un coefficiente davanti alla funzione, possiamo mettere pure un coefficiente davanti alla \(x\) che sta nell'argomento.


Com'è il grafico, per esempio, di \(\cos(2x)?\)


L'argomento, essendo il doppio di \(x,\) aumenterà il due volte più velocemente di \(x,\) quindi ci metterà metà spazio per completare un periodo:

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Se il coseno aveva come periodo \(2\pi,\) il coseno di \(2x\) avrà infatti periodo di \(\pi.\)


In generale, se abbiamo una funzione \(y=\cos(wx),\) il suo periodo \(T\) varrà \(2\pi\over w.\)


\(T={2\pi\over w}\)


Possiamo poi aggiungere una costante. Per esempio potremmo avere \(y=\cos(x) + 1.\) Per rappresentarla, ci basta alzare di \(1\) tutto il grafico del coseno.


Infatti, l'equazione della funzione ci dice che per ogni \(x\) calcoliamo il suo coseno e poi lo alziamo di \(1.\)


Il grafico di \(\cos(x) + 1\) sarà quindi:

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Infine, possiamo aggiungere una costante dentro l'argomento. Per esempio potremmo avere \(\cos(x + {\pi\over 4}).\) In alcuni casi possiamo usare gli archi associati per ricondurlo ad una funzione più semplice, ma non sempre è possibile e dobbiamo lasciare quella costante lì, chiamata fase.


Cosa fa la fase al nostro grafico? Se chiamiamo la nostra fase \(\phi\) (lettera greca che si leggere "phi" ("fi") che viene solitamente usata per indicare la fase), quello che noi stiamo facendo è mettere \(x+\phi\) al posto della \(x.\) Se vi ricordate, questo significa traslare a sinistra il grafico di \(\phi\) unità.


Nel nostro caso, quindi, se il grafico di \(\cos(x)\) era:

Il grafico di \(\cos(x + {\pi\over 4})\) sarà:

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Se la costante che sommiamo è negativa, dovremo spostare il grafico verso destra. Quindi il grafico di \(\cos(x-{\pi\over 4})\) sarà:

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