Funzione logaritmica

Di seguito analizzeremo la funzione logaritmica.

Grafico


Funzione logaritmica


Una funzione logaritmica è una funzione del tipo:


\(y=\log_{a} (x)\)


con \(a>0\) e \(a\neq 1\)


Sappiamo già che la condizione di esistenza di un logaritmo, oltre a quelle scritte sopra, è che il suo argomento sia maggiore di 0. Quindi il dominio sarà formato da tutti i numeri reali positivi, ovvero da \(\mathbb{R} ^+\).


La funzione logaritmica \(y=\log_{a} (x)\) è la funzione inversa della funzione esponenziale \(y=a^x\) , di conseguenza il suo grafico sarà uguale al simmetrico della funzione esponenziale rispetto alla retta \(y=x\):

Funzione logaritmica

Per questo otteniamo che la funzione logaritmica deve essere monotona crescente (sempre crescente) per \(a>1\), mentre sarà monotona decrescente (sempre decrescente) per \(0< a < 1 .\)


Siccome per ogni \(a\) (che rispettano le condizioni di esistenza) abbiamo che:


\(\log_{a} (1) = 0\)


La funzione deve sempre passare per il punto \((0;1)\).


Siccome, usando la formula del cambiamento di base, abbiamo:


\(\log_{1\over a} (x) =\) \(\frac{\log_{a}(x)}{\log_{a} ({1\over a})}=\)\({\log_{a} (x) \over -1 }=-\log_{a} (x)\)


\(y=\log_{1\over a} (x)\) è il simmetrico rispetto all'asse \(x\) della funzione \(y=\log_{a} (x).\)



Grafico di funzioni del tipo \(y=\ln(f(x))\)


Ricordiamo innanzitutto che \(\ln(x)\) è il logaritmo base \(e\) di x, dove \(e\) è il numero di Nepero. Normalmente si studia solo il caso di \(\ln(f(x))\) perché non ci si vuole soffermare troppo su questo argomento e si studia solo il più comune.


Per le condizioni di esistenza (C.E.) del logaritmo, dobbiamo avere \(f(x)>0\), altrimenti in quel punto \(\ln(f(x))\) non esiste nei numeri reali.


Per tracciare un grafico con buona approssimazione vi basta poi ricordare che:


\(\ln(1) = 0\)


e che quando \(f(x)\) si avvicina a 0, \(\ln(x)\) diminuisce e quando \(f(x)\) aumenta, \(\ln(f(x)\) aumenta.