Di seguito analizzeremo le frazioni.
Per spiegare cosa sia una frazione, raccontiamo una storiella comunemente usata:
E' il compleanno di un vostro amico. Avete giocato per ore ed adesso è arrivato il momento di soffiare le candeline. Il vostro amico soffia e voi applaudite e gli fate gli auguri. Ora volete mangiare la torta. La torta però è solo una, non potete dare un'intera torta a testa. Come fate allora? Tagliate la torta. Cioè la dividete in parti più piccole per darne una ad ognuno.
Poniamo che oltre a te e al festeggiato ci siano altri due vostri amici. Se volete che ognuno di voi quattro mangi la stessa quantità di torta, dovete dividerla in quattro parti uguali, come nella figura:
Ognuno di voi ora non ha un'intera torta, ma solo un pezzo. Avete solo un quarto della torta. Cioè avete diviso
Però non usiamo la notazione con i due punti, ma mettiamo il numero che stiamo dividendo, una linietta e sotto il numero di parti in cui lo abbiamo diviso. Quindi ognuno di voi avrà
Se invece eravate in
Quindi ognuno di voi avrebbe avuto
Poniamo che scopriate solo dopo aver tagliato la torta che uno dei vostri amici è intollerante al lattosio. Non può dunque mangiare la torta, quindi decidete di dare la fetta extra al festeggiato. Adesso quindi lui non avrà più solo
Quindi, per indicare una frazione, dovete mettere il numero di parti che avete, poi mettete un trattino e sotto il numero di parti in cui è stata divisa. Proponiamo di seguito qualche esempio per chiarire il concetto.
Se taglio una mela in
Se ci sono
Diamo ora dei nomi alle varie parti di una frazione:
Il numero che sta sopra il trattino (cioè il numero di parti che ho) è detto
Quello che invece si trova sotto (cioè il numero di parti in cui ho diviso l'
Il trattino tra i due ha un nome specifico: si chiama
Nella frazione
Ora notiamo una cosa interessante: se prendo una pizza e la taglio in
Quindi alcune frazioni sono uguali? Proprio così. Se io moltiplico o divido il numeratore e il denominatore di una stessa frazione per uno stesso numero, la frazione rimane la stessa, non cambia.
Infatti, se prendo
Come fa a funzionare? Questo succede perché se io aumento il numeratore, prendo più parti, ma se aumento il denominatore rendo ogni parte più piccola e quindi si compensano a vicenda. Ricordate però che potete solo moltiplicare o dividere, se sommate o sottraete cambiate la frazione.
Vediamo ora la differenze tra
Le frazioni
Se invece il numeratore è più grande del denominatore, allora si dice che la frazione è
Che significa? Significa che io ho un'intero più qualche altro pezzetto. Per esempio, se ho
Mentre si dice frazione
Perché sono chiamate apparenti? Perchè appaiono, cioè sembrano, delle frazioni, ma in realtà sono numeri interi. Se infatti ho
Infine, il
Vediamo ora come si fanno le operazioni con le frazioni:
Come abbiamo visto prima, se un vostro amico non poteva mangiare più la torta e davate due fette al vostro amico, egli aveva
Questo vuol dire che se prendo
Poniamo adesso che un vostro amico debba tornare di corsa a casa e che dunque non mangi la sua fetta. Tu non la vuoi e nemmeno l'altro vostro amico la vuole, dunque date anche quest'altra al festeggiato. Ora lui ha
Quindi prima aveva
Ma non sarà mica che per sommare frazioni con lo stesso denominatore bisogna solo sommare i numeratori? Eh già, è proprio così! Quindi, se devo fare, per esempio,
Vediamo qualche altro esempio di somma delle frazioni con lo stesso denominatore:
Però potrebbe succedere che volete sommare due frazioni che non hanno lo stesso denominatore. Là le cose si fanno più complicate, ma tranquilli, ora vi spieghiamo come fare:
Poniamo di voler calcolare quanto fa
Qua dobbiamo pensare: noi, finora, cosa sappiamo fare? Sappiamo sommare due frazioni che hanno lo stesso denominatore. Come posso ricondurre il mio problema a quello che già conosco?
Noi sappiamo pure che moltiplicare numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero non cambia niente. Allora potrei usare questo fatto per portare le frazioni allo stesso denominatore e poi sommarle!
Vediamo più dettagliatamente cosa intendo:
Io prendo
Poi prendo
Quindi, per fare
Ed ora ho due frazioni con lo stesso denominatore che so come sommare! Quindi il risultato sarà
Ok, però potreste obbiettare che quel
Come ho fatto a scoprire che erano quelli i due numeri? Dovete notare che il denominatore a cui vogliamo arrivare è il minimo comune multiplo dei denominatori delle due frazioni (infatti
Se non riuscite a trovare ad occhio il numero per cui moltiplicare, potete dividere l'mcm per il denominatore per trovarlo (
Vediamo qualche altro esempio: calcoliamo
L'mcm di
Se invece voglio fare
Se invece di sommare sto sottraendo, il procedimento è lo stesso, solo che alla fine invece di sommare i due numeratori, li sottrarò. Quindi, ad esempio, se voglio calcolare
Ora siamo pronti per studiare la
Poniamo che abbiamo diviso una pizza in tre fette e noi prendiamo solo una fetta:
Avremo
Adesso, prendiamo solo
Se dividiamo pure le altre fette in tre, notiamo facilmente che quello che ci rimane è solo
Dunque abbiamo preso
Se torniamo a quando avevamo un terzo della pizza e questa volta prendiamo
Quindi abbiamo ottenuto che:
Ma non sarà mica che basta moltiplicare i due denominatori e i due numeratori? Sì, è proprio così!
Quindi se ho
Ecco di seguito qualche altro esempio:
Ok, però ci sta un trucchetto che è fondamentale che voi impariate! Quando avete moltiplicazioni fra frazioni, nella maggior parte dei casi, potete semplificare alcune cose. In questo modo i numeri diventeranno molto più piccoli e sarà più facile fare i calcoli:
Innanzitutto, prima di moltiplicare, riducete le frazioni ai minimi termini. Che significa?
Una frazione è detta
Quindi,
Per ridurla ai minimi termini, devo sfruttare il fatto che posso dividere il numeratore e il denominatore per uno stesso numero, che in questo caso sarà proprio il loro divisore comune.
Quindi
Riducendo le frazioni rendo i numeri con cui lavoro molto più piccoli.
Ma non è finita qui! C'è un altro trucchetto utilissimo: quando moltiplico due frazioni, possso semplificare lungo le linee della
Calcoliamo
La prima linea della
Quindi possiamo semplificare il
E adesso guardiamo all'altra linea della
Anche qui, possiamo dividere entrambi i numeri per
Adesso riscriviamo i nuovi numeri che abbiamo ottenuto al posto di quelli vecchi:
E adesso moltiplichiamo, ottenendo
Quindi possiamo semplificare in verticale le singole frazioni e poi in obliquo lungo le linee della
Ricordate:
Vediamo quindi la
In realtà è piuttosto semplice, infatti basta moltiplicare per il reciproco.
Quindi, se devo fare
Infine, vediamo la
Anche questa è abbastanza facile, infatti basta fare la potenza del numeratore e del denominatore. Quindi, per esempio :
E anche:
Quindi per questa lezione è tutto, se avete letto tutto quanto ed ora siete arrivati fino a qua, siete dei campioni e riuscirete a risolvere qualsiasi problema con le frazioni. Se volete studiare le espressioni con le frazioni, cliccate qui.