Formula di Erone

Cos'è la formula di Erone?

La formula di Erone è probabilmente la formula più complicata che si incontra alle scuole medie, per questo alcuni studenti hanno difficoltà ad impararla. Ma tranquilli! Ci siamo qua noi! Alla fine di questa lezione vi garantiamo che questa formula non vi farà più paura.

Quindi, vediamo innanzitutto cosa ci permette di fare la formula di Erone:

Essa ci permette di calcolare l'area di un triangolo conoscendo soltanto la lunghezza dei suoi lati.

Per questo è utile: perché a volte conosciamo i lati di un triangolo e vogliamo trovare la sua area ma è difficile trovare quanto è lunga la sua altezza, quindi conviene applicare questa formula.

Per usarla dobbiamo però sapere cos'è il semiperimetro. Come dice il nome, esso è metà del perimetro.

Se quindi indichiamo il perimetro con la notazione 2P, indicheremo il semiperimetro con la lettera maiuscola P.

Se quindi il triangolo ha lati di lunghezze a,b \text{e} c, il semiperimetro sarà uguale a:

P = {a+b+c\over 2}

Quindi, siccome avevamo supposto di conoscere i tre lati, possiamo calcolarci facilmente quanto è lungo il semiperimetro. Ottenuto quest'ultimo, possiamo usare la formula di Erone per calcolare l'area A del triangolo:

A = \sqrt{P (P-a)(P-b)(P-c)}

Quindi abbiamo una radice quadrata sotto la quale ci sta il prodotto tra il semiperimetro e il semiperimetro meno ciascun lato.

Può essere difficile ricordarsi la radice quadrata, ma per farlo basta stare attenti alle unità di misura: le lunghezze si misurano in metri (o centimetri), mentre le aree in metri quadri. Nel moltiplicare quattro lunghezze, otteniamo metri alla quarta, quindi serve fare la radice quadrata per riottenere metri quadri.

Ricordatevi poi che nessun lato è più importante degli altri, quindi se ci sta P-a, per simmetria dovranno pure esserci P-b \text{e} P-c.

Vediamo un esempio: poniamo di avere un triangolo con lati 4cm, 6cm e 8cm.

Il semiperimetro P sarà dunque uguale a:

P = {4\text{cm} + 6\text{cm} + 8\text{cm}\over 2} = {18\text{cm}\over 2} = 9\text{cm}

Dunque, usando la formula di Erone, possiamo subito trovare il valore dell'area:

A = \sqrt{9 (9-4)(9-6)(9-8)} \text{cm}^2

A = sqrt{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} \text{cm}^2

A = 3\sqrt{15} \text{cm}^2