Come sapete bene, la retta dei numeri ci permette di rappresentare qualsiasi numero reale. In essa però non c'è spazio per i numeri complessi. Quale punto della retta corrisponde a \(2+3i\) ? Potete cercare quanto volete ma non troverete nessun posto dove metterlo.
Per rappresentare i numeri complessi, dobbiamo aumentare il numero di dimensioni. La retta dei numeri reali diventa l'asse \(x\) del piano e mettiamo i numeri immaginari sull'asse y:
Ora, associamo ogni numero complesso \(z=a+ib\) al punto di coordinate \((a;b)\):
Questo piano viene talvolta chiamato piano di Argand-Gauss, qualche volta solo piano di Gauss ed altre volte piano complesso. Comunque lo si voglia chiamare, questo piano ci permette di rappresentare geometricamente i numeri complessi.
Guardando al piano complesso si nota meglio anche come i numeri reali siano dei casi particolari di numeri complessi. La retta dei numeri reali è infatti la retta con tutti i punti con parte immaginaria nulla.
Possiamo usare il piano di Gauss e la trigonometria per esprimere in un modo alternativo i numeri complessi. Notiamo infatti che preso un numero complesso \(z=a+ib\) (a cui corrisponde il punto \((a;ib)\) ), esso formerà un angolo \(\theta\) con l'asse dei numeri reali e sarà ad una certa distanza \(r\) dall'origine:
Proiettando il punto sull'asse dei numeri reali otteniamo un triangolo rettangolo:
Usando il teorema di Pitagora abbiamo:
\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
mentre usando la trigonometria abbiamo:
\(a=r\cos(\theta)\)
\(b=r\sin(\theta)\)
Possiamo quindi sostituire questi nuovi valori di \(a\) e \(b\) nella forma algebrica di \(z\) per ottenere la sua forma trigonometrica:
\(z=a+ib= r\cos(\theta) + ir\sin(\theta) = r[\cos(\theta) + i\sin(\theta)]\)
\(r\) viene chiamato il modulo di \(z\), mentre \theta è l'argomento.
Usando le formule trovate prima potete tramutare un numero complesso dalla sua forma algebrica a quella trigonometrica e viceversa.
Apparentemente la forma trigonometrica può sembrare più scomoda di quella algebrica, ma talvolta è più comoda da usare nelle operazioni e in futuro ci servirà per passare alla forma esponenziale, che è invece molto utile.
Quando sommiamo due numeri complessi scritti in forma trigonometrica, l'unica cosa che possiamo fare è raggruppare la parte reale da una parte e quella immaginaria dall'altra:
\(z=r_1 [\cos(\theta_1) + i\sin(\theta_1)]\)
\(w=r_2 [\cos(\theta_2) + i\sin(\theta_2)]\)
\(z+w= (r_1 \cos(\theta_1) + i\sin(\theta_1)) +\)\((r_2\cos(\theta)+i\sin(\theta_2)) = \) \( (r_1 \cos(\theta_1) + r_2 \cos(\theta_2) ) + i(r_1\sin(\theta_1) + r_2\sin(\theta_2)) \)
La moltiplicazione è invece più carina:
Il prodotto di due numeri complessi è uguale ad un numero complesso con modulo il prodotto dei moduli e con argomento la somma degli argomenti:
\(z= r_1 [\cos(\theta_1) + i\sin(\theta_1)]\)
\(w=r_2 [\cos(\theta_2) + i\sin(\theta_2)]\)
\(z\cdot w = (r_1 r_2 )[\cos(\theta_1 +\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]\)
La divisione di due numeri complessi è un numero complesso con modulo il rapporto tra i moduli e con argomento la differenza degli argomenti:
\(z= r_1 [\cos(\theta_1) + i\sin(\theta_1)]\)
\(w=r_2 [\cos(\theta_2) + i\sin(\theta_2)]\)
\({z\over w} = {r_1 \over r_2} [\cos (\theta_1-\theta_2) - i\sin(\theta_1-\theta_2)]\)
L'n-esima potenza di un numero complesso è un numero complesso con modulo l'ennesima potenza del modulo e con argomento \(n\theta\):
\(z= r [\cos(\theta) + i\sin(\theta)]\)
\(z^n = r^n [\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)]\)