Equazioni fratte

Di seguito analizzeremo le equazioni fratte di 1°grado.

C.E.

Riduzione

Denominatore

Soluzioni


Cos’è un'equazione fratta?


Si dice equazione fratta di primo grado ogni equazione nella quale l’incognita compare in uno dei denominatori e che può essere scritta in questo modo:


\(\begin{align}\frac{N(x)}{D(x)}=0\end{align}\)


dove \(N(x)\) e \(D(x)\) (rispettivamente numeratore e denominatore della frazione) sono due polinomi che devono rispettare le seguenti condizioni:


• \(N(x)\) può essere sia un numero sia un polinomio di primo grado;


• \(D(x)\) può essere un qualsiasi polinomio purché non sia di grado \(0\) (quindi un numero). Infatti in questo caso si avrebbe una semplice equazione lineare.


La forma \(\begin{align}\frac{N(x)}{D(x)}=0\end{align}\) prende il nome di forma normale delle equazioni fratte.


Esempio:


Trasforma l’equazione \(\begin{align}\frac{x}{x+1}+x=5\end{align}\) nella sua forma normale e verifica che sia di primo grado.


Porto il \(-5\) a primo membro:


\(\begin{align}\frac{x}{x+1}+x-5=0\end{align}\)


Trasformo l’equazione nella sua forma normale trovando il minimo comune denominatore, che in questo caso risulta essere \(x+1\):


\(\begin{align}\frac{x+x\cdot(x+1)-5\cdot(x+1)}{x+1}=0\end{align} \) \(\longrightarrow\begin{align}\frac{x^2-3x-5}{x+1}=0\end{align}\)


L’equazione ottenuta è fratta ma non è di primo grado in quando il polinomio \(N(x)\) è di secondo grado. Come vedete in questi casi l’apparenza inganna e per questo è sempre molto importante ridurre un'equazione fratta in forma normale.


Fatte queste premesse vi proponiamo qualche esempio di equazione fratta di primo grado:


• \(\begin{align}\frac{2}{x}-3=0\end{align}\)\(\longrightarrow\begin{align}\frac{2-3x}{x}=0\end{align}\);


• \(\begin{align}\frac{a}{a+7}=8\end{align}\)\(\begin{align}\longrightarrow\frac{a-8a+56}{a+7}=0\end{align}\)\(\begin{align}\longrightarrow\frac{56-7a}{a+7}=0\end{align}\)


• \(\begin{align}\frac{t^2-3t-10}{t+2}=t\end{align}\)\(\begin{align}\longrightarrow\frac{t^2-3t-10-t^2-2t}{t+2}=0\end{align}\)\(\begin{align}\longrightarrow -\frac{5t+10}{t+2}=0\end{align}\)


Per completezza vi proponiamo alcuni controesempi di equazioni che, per un motivo o per un altro, non sono fratte di primo grado:


• \(\begin{align}{t(t^3+1) \over 1987}=0\end{align}\) perché l’incognita non compare al denominatore;


• \(\begin{align}\frac{1}{t}-t^{25}=0\end{align}\) in quanto, se la poniamo nella sua forma normale otteniamo \(\begin{align}\frac{1-4t^{26}}{t}=0\end{align}\) dove il grado del polinomio a numeratore è \(26\). Per questo l’equazione non è di primo grado.



Come risolvere un’equazione fratta di primo grado


In questo paragrafo andremo ad analizzare in generale i passi che permettono di risolvere un’equazione fratta di primo grado.



1. Condizioni di esistenza


Il primo passaggio nella risoluzione di un’equazione fratta consiste nell’imporre le condizioni di esistenza. Queste sono delle condizioni che vanno a specificare quando l’equazione esiste all’interno del campo dei numeri reali. Infatti esistono delle soluzioni che rendono impossibile l’equazione. Nel caso delle equazioni fratte di primo grado non sono accettabili quelle che annullano il denominatore, infatti non si può dividere nessun numero per \(0\). Per convincervi di ciò vi rimandiamo alla lezione dedicata.


Quindi nelle equazioni fratte bisogna specificare in modo esplicito che ogni denominatore sia diverso da zero. Solitamente lo si fa sulla parte destra del foglio in modo da lasciare libera la parte sinistra per lo svolgimento dell’esercizio.


Esempio: trova le condizioni di esistenza dell’equazione \(\begin{align}\frac{5x-1}{3x+2} = \frac{5x-7}{3x-1} \end{align}\).


Scriviamo le condizioni di esistenza:


\(\begin{cases} 3x+2\neq 0 \\ 3x-1\neq0 \end{cases}\) \(\longrightarrow\) \(\begin{cases} 3x\neq -2 ; x \neq -\frac {2}{3} \\ 3x\neq 1 ; x\neq -\frac {1}{3} \end{cases}\)


Attenzione! Le parentesi graffe in questo caso hanno l’unico scopo di “tenere ordinate” le condizioni di esistenza e non vanno fraintese con un sistema di equazioni.



2. Riduzione alla forma normale


Trovate le condizioni di esistenza il secondo passaggio da fare è quello di porre l’equazione nella sua forma normale portando tutti i termini a sinistra e facendo il minimo comune multiplo tra i polinomi presenti a numeratore. Questo ci permette di ottenere un’equazione più compatta e maneggevole.


Esempio: poni in forma normale l’equazione \(\begin{align}\frac{5x-1}{3x+2} = \frac{5x-7}{3x-1}\end{align} \).


Porto tutti i termini a sinistra e faccio l’mcm:


\(\begin{align}\frac{5x-1}{3x+2} - \frac{5x-7}{3x-1} = 0\end{align}\)


\(\begin{align}\frac{(5x-1)(3x-1) - (5x-7)(3x+2)}{(3x+2)(3x-1)} =0\end{align}\)


\(\begin{align}\frac{ \require{cancel} \cancel{15x^2} - 8x + 1 - \cancel{15x^2} + 11x + 14}{(3x+2)(3x-1)} =0\end{align}\)


\(\begin{align}\frac{3x+15}{(3x+2)(3x-1)} =0\end{align}\)



3. Eliminazione del denominatore


A questo punto possiamo moltiplicare a sinistra e a destra il denominatore in modo da eliminarlo dalla nostra equazione


\(\begin{align}\frac{N(x)}{D(x)}\cdot D(x) = 0 \cdot D(x)\end{align}\)\(\longrightarrow N(x) = 0\)


In modo da ottenere una semplice equazione di primo grado che saprete sicuramente risolvere utilizzando le tecniche apprese nelle lezioni precedenti.


Esempio: elimina il denominatore nella seguente equazione:


\(\frac{3x+15}{(3x+2)(3x-1)}\cdot(3x+2)(3x-1) = \)\(0 \cdot(3x+2)(3x-1)\)


\(3x+15 = 0\)



4. Controllo delle soluzioni


La soluzione che troverete dopo aver risolto un’equazione fratta di primo grado non è definitiva. Infatti bisogna controllare che il risultato ottenuto non violi le condizioni di esistenza imposte al primo passo. Nel caso di risultati non compatibili con le condizioni di esistenza, dovrete scrivere accanto "soluzione non accettabile per le condizioni di esistenza" o anche solo "non accettabile".


Nel nostro esempio la soluzione che otteniamo è


\(3x+15=0 \longrightarrow 3x = -15 \longrightarrow\)\( x = -5\)


che è accettabile in quanto non contrasta con nessuna delle due condizioni di esistenza. Inoltre, per una maggiore sicurezza noi di Theoremz consigliamo sempre di sostituire le soluzioni trovate all’interno dell’equazione iniziale per verificare che l’uguaglianza rimanga verificata (il che significa che non sono stati commessi errori di distrazione).


Esempio: sostituisci la soluzione trovata all’interno dell’equazione iniziale \(\begin{align}\frac{5x-1}{3x+2} = \frac{5x-7}{3x-1}\end{align}\):


\(\begin{align}\frac{5 \cdot (-5)-1}{3 \cdot (-5) +2} \overset{?}{=} \frac{5 \cdot (-5)-7}{3\cdot (-5) -1}\end{align}\)


\(\begin{align}\frac{-25-1}{-15 +2} \overset{?}{=} \frac{-25-7}{-15 -1} \end{align}\)


\( \begin{align}\frac{26}{13} \overset{?}{=} \frac{32}{16} \longrightarrow 2 \overset{}{=} 2\end{align}\)


L’uguaglianza è verificata e per questo siamo sicuri che la soluzione trovata sia corretta.