Un'equazione esponenziale è un'equazione con almeno un'incognita come esponente di una potenza. In generale quindi è un'equazione del tipo:
\(a^{f(x)}=g(x) \)
dove \(f(x)\) e \(g(x)\) sono semplici espressioni contenenti l'incognita. Guardiamo ora al caso particolare in cui \(f(x)=x\) e \(g(x)=b\).
\(a^x = b \)
Iniziamo notando che se \(b < 0\) l'equazione è impossibile perché come abbiamo visto nella lezione delle funzioni esponenziali. Infatti un esponenziale esiste solo per \(a,b>0\) e \(a\neq1\).
In ogni caso, per \(b>0\) avremo sempre una sola soluzione.
Adesso proviamo capire come si può risolvere un equazione esponenziale. Se \(b\) si riesce a scrivere nella forma \(a^y\), allora avremmo un'equazione del tipo \(a^x=a^y\) e quindi la soluzione immediata sarebbe \(x=y\). Vediamo qualche esempio:
\(3^x = 81\) \(\longrightarrow 3^x = 3^4\) \(\longrightarrow x= 4\)
\(2^x =32\) \(\longrightarrow2^x = 2^5\) \(\longrightarrow x=5\)
Nel caso in cui \(b\) non si può scrivere come \(a^y\), allora dobbiamo ricorrere all'aiuto dei logaritmi. Infatti un equazione esponenziale si può scrivere come logaritmo nel seguente modo:
\(a^x =b \longleftrightarrow log_a (b)=x\)
Vediamo qualche esempio:
\(3^x = 7 \longleftrightarrow x= \log_{3} (7)\)
\(5^x = 29 \longleftrightarrow x=\log_{5} (29)\)
Grazie ai logaritmi possiamo risolvere anche equazioni con più potenze con incognite come esponente. Basterà infatti prendere un logaritmo (solitamente base 10) da entrambi i lati ed usare la proprietà del logaritmo di una potenza. Facciamo qualche esempio:
Vogliamo risolvere l'equazione:
\(3\cdot 5^{3x}=11^{x+1} \)
Siccome abbiamo quantità positive da entrambi i lati, prendiamo il logaritmo base 10 da entrambi i lati:
\(\log_{10} (3 \cdot 5^{3x})=\log_{10}(11^{x+1}\)
Usiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto per dividere il logaritmo di sinistra in due logaritmi:
\( \log_{10}(3) + \log_{10}((5^3)^x)=\log_{10}(11^{x+1}) \)
Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza ed isoliamo x:
\(\log_{10}(3) +x \log_{10}(5^3) =(x+1) \log_{10}(11) \)
\(\log_{10}(3) + x \log_{10}(125) = x \log_{10} (11) + \log_{10} (11)\)
\(x \log_{10}(125) - x \log_{10} (11)=\log_{10}(11) - \log_{10} (3) \)
\(x (\log_{10}(125) - \log_{10}(11)) = \log_{10} (11) - \log_{10}(3) \)
Usiamo la proprietà della differenza tra due logaritmi con stessa base (ovvero la proprietà del logaritmo di un quoziente applicata al contrario) per semplificare:
\(x \log_{10} ({125\over 11})= \log_{10} ({11\over 3})\)
\(x= {{\log_{10} ({11\over 3})} \over {\log_{10}({125 \over 11}))}} \)
Se vogliamo avere un risultato approssimativo, possiamo usare la calcolatrice per scoprire che:
\(x \approx 0.53459 \)