Equazioni esponenziali

Di seguito analizzeremo le equazioni esponenziali.

Con logaritmi


Cos'è un'equazione esponenziale


Un'equazione esponenziale è un'equazione con almeno un'incognita come esponente di una potenza. In generale quindi è un'equazione del tipo:


\(a^{f(x)}=g(x) \)


dove \(f(x)\) e \(g(x)\) sono espressioni contenenti l'incognita \(x\). Guardiamo ora al caso particolare in cui \(f(x)=x\) e \(g(x)=b,\) ovvero alle equazioni esponenziali del tipo:


\(a^x = b \)


Iniziamo notando che se \(b < 0\) l'equazione è impossibile perché, come abbiamo visto nella lezione delle funzioni esponenziali, un'esponenziale è sempre positivo, dunque è impossibile che sia uguale ad un numero negativo.


In ogni caso, per \(b>0\) avremo sempre una sola soluzione.


Adesso proviamo capire come si può risolvere un equazione esponenziale. Se \(b\) si riesce a scrivere nella forma \(a^y\), allora avremmo un'equazione del tipo \(a^x=a^y\) e quindi la soluzione immediata sarebbe \(x=y\). Vediamo qualche esempio:


\(3^x = 81\) \(\longrightarrow 3^x = 3^4\) \(\longrightarrow x= 4\)


\(2^x =32\) \(\longrightarrow2^x = 2^5\) \(\longrightarrow x=5\)



Risolvere le equazioni esponenziali con logaritmi


Nel caso in cui \(b\) non si possa riscrivere facilmente come \(a^y\), allora dobbiamo ricorrere all'aiuto dei logaritmi. Infatti un equazione esponenziale si può risolvere usando la definizione di logaritmo nel seguente modo:


\(a^x =b \longleftrightarrow x=\log_a (b)\)


Vediamo qualche esempio:


\(3^x = 7 \longleftrightarrow x= \log_{3} (7)\)


\(5^x = 29 \longleftrightarrow x=\log_{5} (29)\)


Grazie ai logaritmi possiamo risolvere anche equazioni con più potenze con incognite come esponente. Basterà infatti prendere un logaritmo (solitamente base 10) da entrambi i lati ed usare la proprietà del logaritmo di una potenza. Facciamo qualche esempio:


Vogliamo risolvere l'equazione:


\(3\cdot 5^{3x}=11^{x+1} \)


Siccome abbiamo quantità positive da entrambi i lati, prendiamo il logaritmo base 10 da entrambi i lati:


\(\log_{10} (3 \cdot 5^{3x})=\)\(\log_{10}(11^{x+1})\)


Indichiamo il logaritmo base \(10\) di \(x\) come \(\log x\) per evitare di scrivere centinaia di volte \(10.\)


Usiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto per dividere il logaritmo di sinistra in due logaritmi:


\( \log(3) + \log((5^3)^x)=\)\(\log(11^{x+1}) \)


Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza ed isoliamo x:


\(\log(3) +x \log(5^3) =\)\((x+1) \log(11) \)


\(\log(3) + x \log(125) =\)\( x \log (11) + \log (11)\)


\(x \log(125) - x \log (11)=\)\(\log(11) - \log (3) \)


\(x (\log(125) - \log(11)) =\)\( \log (11) - \log(3) \)


Usiamo la proprietà della differenza tra due logaritmi con stessa base (ovvero la proprietà del logaritmo di un quoziente applicata al contrario) per semplificare:


\(x \log ({125\over 11})=\)\( \log ({11\over 3})\)


\(x= {\log ({11\over 3})\over \log({125 \over 11})} \)


Se vogliamo avere un risultato approssimativo, possiamo usare la calcolatrice per scoprire che:


\(x \approx 0.53459 \)