Equazioni e disequazioni logaritmiche

Di seguito analizzeremo l'equazioni e le disequazioni logaritmiche.

Disequazioni

Base > 1

0 < Base < 1


Cos'è un'equazione logaritmica?


Un'equazione logaritmica è un'equazione con almeno un logaritmo con un incognita nell'argomento. Noi analizzeremo le equazioni logaritmiche del tipo:


\(\log_{a} (A(x)) = \log_{a} (B(x)) \)


Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere \(A(x),B(x),a>0\). Siccome la funzione \(\log_{a} (x)\) è una funzione iniettiva dobbiamo avere:


\(A(x)=B(x) \)


Dobbiamo solo stare attenti alle condizioni di esistenza. Vediamo qualche esempio:


Risolviamo l'equazione logaritmica:


\(\log_{3} (10x) = \log_{3} (x+1) \)


Le condizioni di esistenza saranno:


\(10x>0\)


\(x>0 \)


e


\(x+1>0 \)


\(x>-1 \)


Otteniamo quindi che in generale la condizione di esistenza è x>0.


Detto questo, dovremo avere:


\(10x=x+1 \)


\(9x=1 \)


\(x={1\over 9} \)


Siccome \({1\over 9}>0\) , la soluzione è accettabile.


Risolviamo l'equazione logaritmica:


\(\log (x+1) + \log(x+3) = \log(3x +4) \)


Le condizioni di esistenza saranno:


\(x+1>0 \)


\(x>-1 \)


\(x+3>0\)


\(x>-3\)


\(3x+4>0 \)


\(x>-{4\over 3} \)


E quindi in generale la condizione di esistenza sarà \(x>-1\)


Utilizziamo la proprietà del logaritmo di un prodotto applicata al contrario per unire i due logaritmi a sinistra dell'uguale:


\(\log ((x+1)\cdot (x+3))= \log(3x+4) \)


\(\log(x^2 +4x +3) =\log (3x+4) \)


E dovremo quindi avere:


\(x^2 +4x +3 = 3x +4 \)


\(x^2 +x -1 = 0 \)


\(x_{1;2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4} }{2}= \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)


La soluzione \(x={1+\sqrt{5} \over 2}\) è maggiore di 0, quindi sarà pure maggiore di -1 e dunque accettabile.


La seconda invece è maggiore di -1?


\({1 - \sqrt {5} \over 2}>-1 \)


\(1- \sqrt{5} >-2 \)


\(-\sqrt{5} >-3 \)


Moltiplichiamo entrambi i lati per -1, ricordandoci di cambiare il verso della disequazione:


\(\sqrt{5}< 3 \)


Siccome \(\sqrt{5}\) è compresa tra \(2\) e \(3\), la disequazione deve essere vera e dunque anche la seconda soluzione è maggiore di \(-1\), ed è dunque accettabile.


Come abbiamo visto, si tratta solo di semplificare conoscendo le proprietà dei logaritmi e controllare le condizioni di esistenza.



Cos'è una disequazione logaritmica?


Una disequazione logaritmica è una disequazione con almeno un logaritmo con un'incognita nell'argomento. Noi per ora vedremo le disequazioni logaritmiche del tipo:


\(\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) \)


O con \(<\), \(\geq\) o \(\leq\) al posto di \(>\).


Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere \(A(x),B(x),a>0\).


Dobbiamo dividere in due casi:



La base del logaritmo \(a\) è maggiore di \(1\)


In tal caso sappiamo che il logaritmo base \(a\) è una funzione monotona crescente (sempre crescente). Di conseguenza, se


\(x> y \)


Avremo


\(\log_{a} (x) > \log_{a} (y) \)


Perché passando da \(y\) ad \(x\) deve aumentare.


(questo vale anche con \(<\), \(\geq\) o \(\leq\) al posto di \(>\))


e quindi applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione, avremo che se:


\(\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) \)


Dovremo avere:


\(A(x)>B(x) \)


Che possiamo risolvere. Ricordiamoci però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.



La base del logaritmo \(a\) è compresa tra \(0\) e \(1\)


In tal caso avremo che se abbiamo:


\(x>y \)


Siccome il logaritmo base \(a\) con \(a\) compresa tra \(0\) ed \(1\) è una funzione monotona decrescente (sempre decrescente), dovremo avere:


\(\log_{a} (x) < \log_{a} (y) \)


(questo vale anche con \(<\), \(\geq\) o \(\leq\) , basta che invertite sempre il verso della disequazione)


perché passando da \(y\) ad \(x\) deve diminuire.


Di conseguenza, applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione logaritmica, avremo:


\(\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) \)


\(A(x) < B(x) \)


che possiamo risolvere, senza dimenticare però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.


Quindi, se abbiamo una disequazione logarimtica del tipo:


\(\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) \)


se \(a> 1\), allora:


\(A(x) > B(x) \)


se \(0< a < 1\), va cambiato il segno della disequazione e quindi:


\(A(x) < B(x) \)


Tenendo sempre a mente le condizioni di esistenza che sono \(a,A(x),B(x)>0.\)