Un'equazione logaritmica è un'equazione con almeno un logaritmo con un incognita nell'argomento. Noi analizzeremo le equazioni logaritmiche del tipo:
\(\log_{a} (A(x)) = \log_{a} (B(x)) \)
Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere \(A(x),B(x),a>0\). Siccome la funzione \(\log_{a} (x)\) è una funzione iniettiva dobbiamo avere:
\(A(x)=B(x) \)
Dobbiamo solo stare attenti alle condizioni di esistenza. Vediamo qualche esempio:
Risolviamo l'equazione logaritmica:
\(\log_{3} (10x) = \log_{3} (x+1) \)
Le condizioni di esistenza saranno:
\(10x>0\)
\(x>0 \)
e
\(x+1>0 \)
\(x>-1 \)
Otteniamo quindi che in generale la condizione di esistenza è x>0.
Detto questo, dovremo avere:
\(10x=x+1 \)
\(9x=1 \)
\(x={1\over 9} \)
Siccome \({1\over 9}>0\) , la soluzione è accettabile.
Risolviamo l'equazione logaritmica:
\(\log (x+1) + \log(x+3) = \log(3x +4) \)
Le condizioni di esistenza saranno:
\(x+1>0 \)
\(x>-1 \)
\(x+3>0\)
\(x>-3\)
\(3x+4>0 \)
\(x>-{4\over 3} \)
E quindi in generale la condizione di esistenza sarà \(x>-1\)
Utilizziamo la proprietà del logaritmo di un prodotto applicata al contrario per unire i due logaritmi a sinistra dell'uguale:
\(\log ((x+1)\cdot (x+3))= \log(3x+4) \)
\(\log(x^2 +4x +3) =\log (3x+4) \)
E dovremo quindi avere:
\(x^2 +4x +3 = 3x +4 \)
\(x^2 +x -1 = 0 \)
\(x_{1;2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4} }{2}= \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
La soluzione \(x={1+\sqrt{5} \over 2}\) è maggiore di 0, quindi sarà pure maggiore di -1 e dunque accettabile.
La seconda invece è maggiore di -1?
\({1 - \sqrt {5} \over 2}>-1 \)
\(1- \sqrt{5} >-2 \)
\(-\sqrt{5} >-3 \)
Moltiplichiamo entrambi i lati per -1, ricordandoci di cambiare il verso della disequazione:
\(\sqrt{5}< 3 \)
Siccome \(\sqrt{5}\) è compresa tra \(2\) e \(3\), la disequazione deve essere vera e dunque anche la seconda soluzione è maggiore di \(-1\), ed è dunque accettabile.
Come abbiamo visto, si tratta solo di semplificare conoscendo le proprietà dei logaritmi e controllare le condizioni di esistenza.
Una disequazione logaritmica è una disequazione con almeno un logaritmo con un'incognita nell'argomento. Noi per ora vedremo le disequazioni logaritmiche del tipo:
\(\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) \)
O con \(<\), \(\geq\) o \(\leq\) al posto di \(>\).
Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere \(A(x),B(x),a>0\).
Dobbiamo dividere in due casi:
In tal caso sappiamo che il logaritmo base a è una funzione monotona crescente (sempre crescente). Di conseguenza, se
\(x> y \)
Avremo
\(\log_{a} (x) > \log_{a} (y) \)
Perché passando da \(y\) ad \(x\) deve aumentare.
(questo vale anche con \(<\), \(\geq\) o \(\leq\) al posto di \(>\))
e quindi applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione, avremo che se:
\(\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) \)
Dovremo avere:
\(A(x)>B(x) \)
Che possiamo risolvere. Ricordiamoci però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.
In tal caso avremo che se abbiamo:
\(x>y \)
Siccome il logaritmo base a con a compresa tra \(0\) ed \(1\) è una funzione monotona decrescente (sempre decrescente), dovremo avere:
\(\log_{a} (x) < \log_{a} (y) \)
(questo vale anche \(<\), \(\geq\) o \(\leq\) , basta che invertite sempre il verso della disequazione)
perché passando da \(y\) ad \(x\) deve diminuire.
Di conseguenza, applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione logaritmica, avremo:
\(\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) \)
\(A(x) < B(x) \)
che possiamo risolvere, senza dimenticare però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.
Quindi, se abbiamo una disequazione logarimtica del tipo:
\(\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x)) \)
se \(a> 1\), allora:
\(A(x) > B(x) \)
se \(0< a < 1\), va cambiato il segno della disequazione e quindi:
\(A(x) < B(x) \)
Tenendo sempre a mente le condizioni di esistenza che sono \(a,A(x),B(x)>0.\)