Equazioni di 2°grado

Di seguito analizzeremo le equazioni di 2°grado.

Forma normale

Risoluzione

Delta

Monomie

Pure

Spurie


Cos’è un'equazione di secondo grado?


Le equazioni di secondo grado (o equazioni quadratiche) sono equazioni in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è \(2\). Prima di approfondire ulteriormente, ecco a voi qualche esempio di equazioni di secondo grado:


• \(x^2+4x+1=0\)


• \(4x^2=11\)


• \(y^2=0\)


• \(2d^2+5=-\frac{2}{3}d^2+d\)


Per fissare meglio il concetto vi proponiamo alcuni controesempi di equazioni che, per un motivo o per un altro, non sono di secondo grado. Ecco qua:



Quindi, per essere sicuri che un’equazione data sia di secondo grado bisogna sommare eventuali termini simili (con la stessa incognita), ponendo quindi l’equazione nella sua forma normale.



Forma normale delle equazioni di secondo grado


Ogni equazione di secondo grado può essere ricondotta alla sua forma normale (o standard) che si presenta in questo modo:


\(ax^2 + bx + c=0\) con \(a \neq 0\)


Dove \(a\),\(b\) e \(c\) si chiamano rispettivamente primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione. Il coefficiente \(c\) è anche detto termine noto.


Perché \(a \neq 0?\) Semplicemente perché se \(a\) valesse \(0\) si avrebbe l’equazione \( bx + c=0\) che è evidentemente di primo grado.


Ad esempio un equazione come \(4x^2-11=0\) è scritta in forma normale con


• \(a=4\)


• \(b=0\)


• \(c=-11\)



Metodo risolutivo delle equazioni di secondo grado complete


Un’equazione di secondo grado si dice completa quando alla forma normale ha tutti i coefficienti diversi da zero:


\(ax^2+bx+c=0 \) con \(a \neq 0\), \(b \neq 0\), \(c \neq 0\).


Per risolvere un’equazione di questo tipo basta applicare la formula risolutiva:


\(X_{1,2}= \frac {-b \pm \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}\)


Per adesso rimandiamo la dimostrazione ad un secondo momento. Intanto però, vista l’importanza della formula, cerca di impararla a memoria (ti servirà spessissimo!).


Ora proviamo a risolvere a titolo di esempio un’equazione di secondo grado:


Esempio: risolvere la seguente equazione: \(x^2-6x+5=0\)


I coefficienti sono:


• \(a=1\)


• \(b=6\)


• \( c=5\)


Proviamo quindi ad applicare la formula risolutiva inserendo i numeri al posto delle lettere:


\(X= \frac {-(-6) \pm \sqrt {(-6)^2 -4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}\)


\(X= \frac {6 \pm \sqrt {36 -20}}{2} \)


\(X= \frac {6 \pm \sqrt {16}}{2} \)


\(X= \frac {6 \pm \sqrt 4}{2} \)


\(X= \frac {6 \pm 2}{2} \)


Il simbolo \(\pm \) (da leggere come più o meno) è una scrittura matematica che indica che bisogna considerare due possibilità distinte: la prima usando il segno “\(+\)” al posto del “\(\pm \)” e la seconda usando invece il segno “\(-\)”. Quindi:


\(\begin{cases} x_1= \frac {6+2}{2} = 4 \\ x_2 = \frac {6-2}{2} =2 \end{cases}\)


Dunque le soluzioni dell’equazione \(x^2 -6x+4=0\) sono \(2\) e \(4\).



Il Discriminante (o Delta)


Si dice discriminante o \(\Delta \) (delta) il termine che si trova sotto radice nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, ovvero


\(b^2-4ac\)


Ora proviamo ad analizzare il segno del delta:



Notiamo quindi che un’equazione di secondo grado ammette sempre due soluzioni, che siano esse reali o complesse.


Quindi adesso che sappiamo cos’è il discriminante proviamo a riscrivere la nostra formula per le equazioni di secondo grado in modo un pochino più compatto e facile da ricordare:


\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)


Esempio: risolvere la seguente equazione: \( 3x^2+2x-1=0\)


Prima di tutto analizziamo il delta:


\(\Delta = b^2-4ac = \) \(2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)= \) \( 4+12=16\)


Poiché il delta è positivo avremo due soluzioni reali e distinte:


\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \) \( \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\cdot3}= \) \( \frac{-2\pm4}{6} \) \(\longrightarrow\) \( \begin{cases} x_1= \frac {-2+4}{6} = \frac {1}{3} \\ x_2 = \frac {-2-4}{6} =-1 \end{cases}\)


Dunque le soluzioni sono \(\frac {1}{3}\) e \(-1\).



Formula ridotta


Se il secondo termine (\(b\)) dell’equazione scritta in forma normale è divisibile per due, è molto comodo utilizzare la formula ridotta. Per ricavarla basta dividere per due tutti i membri dell’equazione e poi applicare la formula risolutiva imparata in precedenza:


\(ax^2+bx+c=0 \) \(\longrightarrow\) \(\frac {ax^2}{2}+ \frac {bx}{2} + \frac {c}{2} = 0\)


Ora applico la formula:


\(X_{1/2}= \frac {-b \pm \sqrt {b^2 -4ac}}{a}\)


E ottengo:


\(X_{1/2}= \frac {-\frac {b}{2} \pm \sqrt {\left\{\frac {b}{2} \right\}^2-ac}}{a}\)


In questo caso però, l’espressione sotto radice non è il discriminante, bensì \(\frac{1}{4}\) di esso:


\(\Delta = b^2-4ac \) \(\longrightarrow \frac {\Delta}{4} =\) \( \frac {b^2}{4}-ac\) \(\longrightarrow \frac {\Delta}{4}=\left\{ \frac{b}{2}\right\}^2-ac\)


Ora proviamo a risolvere un’equazione utilizzando la ridotta:


Esempio: risolvere la seguente equazione: \(x^2+16x+64=0\)


Per prima cosa analizziamo il \(\frac {\Delta}{4}\):


\(\frac {\Delta}{4}=\) \( \left\{ \frac{b}{2}\right\}^2-ac=8^2-1\cdot64= \) \( 64-64=0\)


Poiché il delta è nullo avremo due soluzioni reali e coincidenti (nella formula possiamo omettere il \(\frac {\Delta}{4}\) in quanto, valendo \(0\), non incide nei calcoli):


\(X_{1/2}= \frac {-\frac {b}{2}}{a}= \frac {-8}{1}= -8\)


Quindi l’unica soluzione è \(-8\) doppia.



Equazioni monomie


Si dice monomia un’equazione che in forma normale ha \(b=0\) e \(c=0\) e si presenta nella forma:


\(ax^2 =0\)


Visto che \(a \neq 0\) otteniamo: \(ax^2 =0\) \( \rightarrow\) \(x^2 =0 \rightarrow x=0\) .


Quindi, qualunque valore assuma il coefficiente \(a\), ogni equazione monomia ammette in ogni caso due soluzioni reali e coincidenti nulle, quindi uguali a \(0\).



Equazioni pure


Si dice pura un’equazione che in forma normale ha \(b=0\) e \(c=0\) e si presenta nella forma:


\(ax^2+c=0\)


Per risolverla utilizziamo le regole già viste per le equazioni di primo grado:


\(ax^2+c=0\rightarrow\) \(ax^2=-c\rightarrow\) \(x^2=-\frac{c}{a}\rightarrow\) \(x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\)


Ora vi potreste chiedere perché ho scritto \(\pm\). Semplicemente perché entrambe le possibilità risolvono l’equazione. Per convincervi di ciò proviamo ad elevare al quadrato entrambe le soluzioni:


\(\left(-\sqrt{-\frac{c}{a}}\right)^2=-\frac{c}{a}\)


\(\left(\sqrt{-\frac{c}{a}}\right)^2=-\frac{c}{a}\)


Come potete vedere portano entrambi alla stessa soluzione.


Ora state molto attenti: una cosa è risolvere un equazione, un conto è risolvere la radice quadrata di un numero. Infatti si avrà \(\sqrt{16}=4\) non \(\sqrt{16}=\pm4\) !



Equazioni spurie


Si dice spuria un’equazione che in forma normale ha \(b \neq 0\) e \(c= 0\) e si presenta nella forma:


\(ax^2+bx=0\)


Anche in questo caso per risolverla utilizziamo le regole già viste per le equazioni di primo grado:


\(ax^2+bx=0 \rightarrow\) \(X_{1,2}={-b \pm \sqrt{b^2-4a \cdot0} \over 2a}\) \(\rightarrow X_{1,2}={-b \pm b \over 2a}\)


Soluzioni: \(X_1 = 0\) , \(X_2 = {-b \over a}\)