Le equazioni di secondo grado (o equazioni quadratiche) sono equazioni in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è 2. Prima di approfondire ulteriormente, ecco a voi qualche esempio di equazioni di secondo grado:
• x^2+4x+1=0
• 4x^2=11
• y^2=0
• 2d^2+5=-\frac{2}{3}d^2+d
Per fissare meglio il concetto vi proponiamo alcuni controesempi di equazioni che, per un motivo o per un altro, non sono di secondo grado. Ecco qua:
x^3-3x=4 perché la x compare col grado massimo 3;
y^{16}=5 perché la x compare col grado massimo 16;
2x^2+5 -x^2= x^2 +x. Infatti, nonostante all’apparenza possa effettivamente sembrare di secondo grado, se andiamo a risolverla otteniamo 2x^2 -x^2 -x^2 -x +5= 0; -x+5=0 che risulta essere di primo grado.
Quindi, per essere sicuri che un’equazione data sia di secondo grado bisogna sommare eventuali termini simili (con la stessa incognita), ponendo quindi l’equazione nella sua forma normale.
Ogni equazione di secondo grado può essere ricondotta alla sua forma normale (o standard) che si presenta in questo modo:
ax^2 + bx + c=0 con a \neq 0
Dove a,b e c si chiamano rispettivamente primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione. Il coefficiente c è anche detto termine noto.
Perché a \neq 0? Semplicemente perché se a valesse 0 si avrebbe l’equazione bx + c=0 che è evidentemente di primo grado.
Ad esempio un equazione come 4x^2-11=0 è scritta in forma normale con
• a=4
• b=0
• c=-11
Un’equazione di secondo grado si dice completa quando alla forma normale ha tutti i coefficienti diversi da zero:
ax^2+bx+c=0 con a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0.
Per risolvere un’equazione di questo tipo basta applicare la formula risolutiva:
X_{1,2}= \frac {-b \pm \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}
Per adesso rimandiamo la dimostrazione ad un secondo momento. Intanto però, vista l’importanza della formula, cerca di impararla a memoria (ti servirà spessissimo!).
Ora proviamo a risolvere a titolo di esempio un’equazione di secondo grado:
Esempio: risolvere la seguente equazione: x^2-6x+5=0
I coefficienti sono:
• a=1
• b=6
• c=5
Proviamo quindi ad applicare la formula risolutiva inserendo i numeri al posto delle lettere:
X= \frac {-(-6) \pm \sqrt {(-6)^2 -4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}
X= \frac {6 \pm \sqrt {36 -20}}{2}
X= \frac {6 \pm \sqrt {16}}{2}
X= \frac {6 \pm \sqrt 4}{2}
X= \frac {6 \pm 2}{2}
Il simbolo \pm (da leggere come più o meno) è una scrittura matematica che indica che bisogna considerare due possibilità distinte: la prima usando il segno “+” al posto del “\pm ” e la seconda usando invece il segno “-”. Quindi:
\left\{ \begin{array}{l} x_1= \frac {6+2}{2} = 4 \\ x_2 = \frac {6-2}{2} =2 \end{array} \right.
Dunque le soluzioni dell’equazione x^2 -6x+4=0 sono 2 e 4.
Si dice discriminante o \Delta (delta) il termine che si trova sotto radice nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, ovvero
b^2-4ac
Ora proviamo ad analizzare il segno del delta:
Se \Delta > 0 otterrò due soluzioni reali e distinte. Infatti andremo a sommare algebricamente la radice di un numero positivo.
Se \Delta = 0 otterrò due soluzioni reali e coincidenti (quindi due soluzioni identiche). Infatti andremo a sommare algebricamente la radice di 0, che vale appunto 0. In casi come questo si può evidentemente utilizzare la formula x_{1,2}= \frac {-b}{2a} ;
Se \Delta < 0 l’equazione non ha soluzioni nel campo dei reali, in quanto non esiste la radice di un numero negativo. Si dice quindi che l’equazione è impossibile. (In realtà esistono anche in questo caso due soluzioni che vanno però ricercate nel campo dei numeri complessi ).
Notiamo quindi che un’equazione di secondo grado ammette sempre due soluzioni, che siano esse reali o complesse.
Quindi adesso che sappiamo cos’è il discriminante proviamo a riscrivere la nostra formula per le equazioni di secondo grado in modo un pochino più compatto e facile da ricordare:
x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
Esempio: risolvere la seguente equazione: 3x^2+2x-1=0
Prima di tutto analizziamo il delta:
\Delta = b^2-4ac = 2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)= 4+12=16
Poiché il delta è positivo avremo due soluzioni reali e distinte:
x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\cdot3}= \frac{-2\pm4}{6} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1= \frac {-2+4}{6} = \frac {1}{3} \\ x_2 = \frac {-2-4}{6} =-1 \end{array} \right.
Dunque le soluzioni sono \frac {1}{3} e -1.
Se il secondo termine (b) dell’equazione scritta in forma normale è divisibile per due, è molto comodo utilizzare la formula ridotta. Per ricavarla basta dividere per due tutti i membri dell’equazione e poi applicare la formula risolutiva imparata in precedenza:
ax^2+bx+c=0 \longrightarrow \frac {ax^2}{2}+ \frac {bx}{2} + \frac {c}{2} = 0
Ora applico la formula:
X_{1/2}= \frac {-b \pm \sqrt {b^2 -4ac}}{a}
E ottengo:
X_{1/2}= \frac {-\frac {b}{2} \pm \sqrt {\left\{\frac {b}{2} \right\}^2-ac}}{a}
In questo caso però, l’espressione sotto radice non è il discriminante, bensì \frac{1}{4} di esso:
\Delta = b^2-4ac \longrightarrow \frac {\Delta}{4} = \frac {b^2}{4}-ac \longrightarrow \frac {\Delta}{4}=\left\{ \frac{b}{2}\right\}^2-ac
Ora proviamo a risolvere un’equazione utilizzando la ridotta:
Esempio: risolvere la seguente equazione: x^2+16x+64=0
Per prima cosa analizziamo il \frac {\Delta}{4}:
\frac {\Delta}{4}= \left\{ \frac{b}{2}\right\}^2-ac=8^2-1\cdot64= 64-64=0
Poiché il delta è nullo avremo due soluzioni reali e coincidenti (nella formula possiamo omettere il \frac {\Delta}{4} in quanto, valendo 0, non incide nei calcoli):
X_{1/2}= \frac {-\frac {b}{2}}{a}= \frac {-8}{1}= -8
Quindi l’unica soluzione è -8 doppia.
Si dice monomia un’equazione che in forma normale ha b=0 e c=0 e si presenta nella forma:
ax^2 =0
Visto che a \neq 0 otteniamo: ax^2 =0 \rightarrow x^2 =0 \rightarrow x=0 .
Quindi, qualunque valore assuma il coefficiente a, ogni equazione monomia ammette in ogni caso due soluzioni reali e coincidenti nulle, quindi uguali a 0.
Si dice pura un’equazione che in forma normale ha b=0 e c=0 e si presenta nella forma:
ax^2+c=0
Per risolverla utilizziamo le regole già viste per le equazioni di primo grado:
ax^2+c=0\rightarrow ax^2=-c\rightarrow x^2=-\frac{c}{a}\rightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}
Ora vi potreste chiedere perché ho scritto \pm. Semplicemente perché entrambe le possibilità risolvono l’equazione. Per convincervi di ciò proviamo ad elevare al quadrato entrambe le soluzioni:
\left(-\sqrt{-\frac{c}{a}}\right)^2=-\frac{c}{a}
\left(\sqrt{-\frac{c}{a}}\right)^2=-\frac{c}{a}
Come potete vedere portano entrambi alla stessa soluzione.
Ora state molto attenti: una cosa è risolvere un equazione, un conto è risolvere la radice quadrata di un numero. Infatti si avrà \sqrt{16}=4 non \sqrt{16}=\pm4 !
Si dice spuria un’equazione che in forma normale ha b \neq 0 e c= 0 e si presenta nella forma:
ax^2+bx=0
Anche in questo caso per risolverla utilizziamo le regole già viste per le equazioni di primo grado:
ax^2+bx=0 \rightarrow X_{1,2}={-b \pm \sqrt{b^2-4a \cdot0} \over 2a} \rightarrow X_{1,2}={-b \pm b \over 2a}
Soluzioni: X_1 = 0 , X_2 = {-b \over a}
Trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado: x^2 - 5x + 6 = 0
x=2 \vee x=3
Utilizzando la formula quadratica:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Per l'equazione x^2 - 5x + 6 = 0, abbiamo a = 1, b = -5 e c = 6.
Applicando la formula, otteniamo:
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}
x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}
x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}
x = \frac{5 \pm 1}{2}
Le soluzioni sono x = 2 e x = 3.
Trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado: 2x^2 - 7x + 3 = 0
x = 3 e x = \frac{1}{2}
Utilizzando la formula quadratica:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Per l'equazione 2x^2 - 7x + 3 = 0, abbiamo a = 2, b = -7 e c = 3.
Applicando la formula, otteniamo:
x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)}
x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4}
x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}
x = \frac{7 \pm 5}{4}
x = 3 e x = \frac{1}{2}
Trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado: 3x^2 + 2x - 5 = 0
x = 1 e x = -\frac{5}{3}
Utilizzando la formula quadratica:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Per l'equazione 3x^2 + 2x - 5 = 0, abbiamo a = 3, b = 2 e c = -5.
Applicando la formula, otteniamo:
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-5)}}{2(3)}
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}
x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6}
x = \frac{-2 \pm 8}{6}
x = 1 e x = -\frac{5}{3}
Trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado: 4x^2 - 12x + 9 = 0
x = \frac{3}{2}
Possiamo risolvere questa equazione utilizzando il metodo del quadrato di un binomio.
Iniziamo notando che il trinomio 4x^2 - 12x + 9 è un quadrato perfetto. Possiamo scriverlo come (2x - 3)^2 = 0.
Ora, applichiamo la proprietà del quadrato di un binomio:
(2x - 3)^2 = 0 implica 2x - 3 = 0
Risolvendo per x, otteniamo:
2x = 3 implica x = \frac{3}{2}
x = \frac{3}{2}
Trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado: x^2 - 6x + 9 = 0
x = 3
Possiamo risolvere questa equazione utilizzando il metodo del quadrato di un binomio.
Notiamo che il trinomio x^2 - 6x + 9 è un quadrato perfetto. Possiamo scriverlo come (x - 3)^2 = 0.
Ora, applichiamo la proprietà del quadrato di un binomio:
(x - 3)^2 = 0 implica x - 3 = 0
Risolvendo per x, otteniamo:
x = 3
L'unica soluzione è x = 3