Per equazione biquadratica si intente un’equazione formata da un termine di quarto grado, uno di secondo grado e un termine noto.
E molto importante avere un occhio allenato e saperle riconoscere perché possono essere risolte molto più facilmente di quanto potrebbe sembrare.
Per risolvere un’equazione biquadratica è necessario sostituire il termine di secondo grado con una variabile (spesso viene scelta la lettera \(t\)) e il termine di quarto grado con la stessa variabile elevata al quadrato.
Esempio:
\(t^2-8t+7=0\)
Facendo questo abbiamo trasformato la nostra biquadratica in un’equazione di secondo grado che ora risolviamo normalmente con la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado:
\({4 \pm \sqrt{9}} \) \(\rightarrow\) \(x_1 = 1, x_2 = 7\)
Adesso non ci resta che ricavare le soluzioni sostituendo a \(t\) il nostro risultato
\(x^2 =1, x^2 = 7\) \(\longrightarrow\) \(x_{1,2,3,4} = \pm 1, \pm \sqrt7\)
Abbiamo ottenuto esattamente \(4\) soluzioni perché l’equazione di partenza era di quarto grado.
Un’equazione è detta trinomia se è formata da un termine di grado \(2n\), un termine di grado \(n\) e un termine noto.
Le equazioni biquadratiche sono quindi un caso particolare di equazioni trinomie.
Di seguito alcuni esempi:
Le equazioni trinomie si risolvono con lo stesso procedimento usato per le biquadratiche, con la sola differenza che in questo caso \(t\) non sarà più uguale a \(x^2\) ma sarà uguale a \(x^n\).
Esempio:
\(t^2-2t-8=0\)
\({1 \pm \sqrt{9}} \) \(\rightarrow\) \(x_1 = -2, x_2 = 4\)
Adesso non ci resta che ricavare le soluzioni sostituendo a \(t\) il nostro risultato:
\(x^3 =-2, x^3 = 4\) \(\longrightarrow\) \(x_{1,2} = -\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}\)
Questa volta abbiamo ottenuto \(2\) anche se l’equazione di partenza era di sesto grado perché le altre \(4\) soluzioni non sono numeri reali e fanno parte dell’insieme dei numeri complessi (qui la lezione sui numeri complessi).