Di seguito analizzeremo le equazioni biquadratiche e trinomie.
Per equazione biquadratica si intente un’equazione formata da un termine di quarto grado, uno di secondo grado e un termine noto.
E' molto importante avere un occhio allenato e saperle riconoscere perché possono essere risolte molto più facilmente di quanto potrebbe sembrare.
Proponiamo di seguito alcuni esempi di equazioni biquadratiche:
Per risolvere un’equazione biquadratica è necessario sostituire il termine di secondo grado con una variabile (spesso viene scelta la lettera t) e il termine di quarto grado con la stessa variabile elevata al quadrato.
Esempio:
Imponiamo t=x^2 e avremo di conseguenza anche t^2 = x^4. Sostituendo otteniamo:
t^2-8t+7=0
Facendo questo abbiamo trasformato la nostra biquadratica in un’equazione di secondo grado che ora risolviamo normalmente con la forma ridotta della formula risolutrice delle equazioni di secondo grado:
t_{1;2} = {4 \pm \sqrt{4^2 - 7}\over 1} = 4 \pm \sqrt{9} = 4 \pm 3
Quindi t_1 = 1 e t_2 = 7. Adesso risostituiamo la x per trovare le vere soluzioni:
t_1 = 1 \longrightarrow x^2 = 1 \longrightarrow x_{1;2} = \pm 1
t = 7 \longrightarrow x^2 =7 \longrightarrow x_{3;4} = \pm \sqrt{7}
Abbiamo ottenuto esattamente 4 soluzioni perché l’equazione di partenza era di quarto grado.
Un’equazione è detta trinomia se è formata da un termine di grado 2n, un termine di grado n e un termine noto.
Le equazioni biquadratiche sono quindi un caso particolare di equazioni trinomie.
Di seguito alcuni esempi:
Le equazioni trinomie si risolvono con lo stesso procedimento usato per le biquadratiche, con la sola differenza che in questo caso t non sarà più uguale a x^2 ma sarà uguale a x^n.
Esempio:
Imponiamo t=x^3 e di conseguenza avremo anche t^2 = x^6. Sostituiamo ed otteniamo:
t^2-2t-8=0
Risolvendola otteniamo:
{t_{1;2} = 1 \pm 3}
Adesso non ci resta che ricavare le soluzioni risostituendo la x:
t = -2 \longrightarrow x^3 = -2 \longrightarrow x = -\sqrt[3]{2}
t=4 \longrightarrow x^3 = 4 \longrightarrow x= \sqrt[3]{4}
Questa volta abbiamo ottenuto due soluzioni anche se l’equazione di partenza era di sesto grado perché le altre quattro soluzioni non sono numeri reali e fanno parte dell’insieme dei numeri complessi (qui la lezione sui numeri complessi).
Risolvi la seguente equazione biquadratica:
x^4 - 5x^2 + 4 = 0
x = \pm 2 o x = \pm 1
Trasformiamo l'equazione biquadratica in un'equazione di secondo grado ponendo y = x^2:
y^2 - 5y + 4 = 0
Risolviamo l'equazione quadratica per trovare y :
y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}
Le soluzioni per y sono y = 4 e y = 1.
Ricordando che y = x^2 , risolviamo per x :
Per y = 4 abbiamo x = \pm 2.
Mentre per y = 1 abbiamo x = \pm 1.
x = \pm 2 o x = \pm 1
Risolvi la seguente equazione biquadratica:
x^4 - 16 = 0
x = \pm 2
Scomponiamo l'equazione come la differenza di quadrati:
x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)
Risolviamo ciascun fattore separatamente:
x^2 - 4 = 0 porta a x = \pm 2.
Per quanto riguarda x^2 + 4 = 0, x^2 + 4 è la somma di due quadrati uno dei quali è diverso da 0, quindi non potrà mai essere uguale a 0.
Quindi, le uniche soluzioni reali sono x = \pm 2.
x=\pm 2
Risolvi la seguente equazione biquadratica:
2x^4 - 3x^2 + 1 = 0
x = \pm 1, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
Trasformiamo l'equazione biquadratica in un'equazione di secondo grado ponendo y = x^2:
2y^2 - 3y + 1 = 0
Risolviamo l'equazione quadratica per trovare y :
y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}
Le soluzioni per y sono y = 1 e y = \frac{1}{2}.
Ricordando che y = x^2 , risolviamo per x :
Per y = 1 abbiamo x = \pm 1.
Mentre per y = \frac{1}{2} abbiamo x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}.
x = \pm 1, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
Risolvi la seguente equazione biquadratica:
x^4 - 6x^2 + 8 = 0
x = \pm \sqrt{2} e x = \pm 2 .
Trasformiamo l'equazione biquadratica in un'equazione di secondo grado ponendo y = x^2 :
y^2 - 6y + 8 = 0
Risolviamo l'equazione quadratica per trovare y :
y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}
Da cui otteniamo che le soluzioni per y sono y = 2 e y = 4.
Ricordando che y = x^2 , r