Equazioni di 1°grado

Equazioni

Le equazioni, in matematica e non solo, sono molto importanti. Impararle bene adesso vi permetterà in un secondo momento di capire concetti più avanzati della matematica, dove queste vengono utilizzate. Ma insomma, cos’è un equazione?

Prima di darti la definizione matematicamente rigorosa proviamo a capirlo con una spiegazione semplice, partendo dalle basi:

Possiamo affermare per esempio che

• dire 10 calamite è uguale a dire 7 calamite più 3 calamite;

• dire 2 arance è come dire 8 arance meno 6 arance;

• dire 9 caramelle è come dire il triplo di 3 caramelle.

Ora se proviamo a scriverlo in forma matematica otteniamo:

• 10=7+3

• 2=8-6

• 9=3\cdot 3

Queste sono sono semplici formule dette chiuse, dove il valore a sinistra dell’uguale è uguale al valore a destra dell’uguale (uguaglianza).

In questo caso sono tutti numeri ma dall’algebra studiata alle scuole medie sappiamo che potremmo anche avere delle incognite, come la x e la y, ma nulla impedisce di utilizzare anche le altre lettere dell’alfabeto. Queste formule vengono dette invece aperte e sono delle equazioni, come ad esempio:

• 10=x+3

• a=8-6

• 9=3\cdot x

La risoluzione di un’equazione consiste semplicemente nel trovare quei valori che sostituiti all’incognita (o alle incognite), rendano vera l’uguaglianza. Nelle tre equazioni degli esempi risulta banale trovare la soluzione, ma nel caso di equazioni più complesse bisognerà ricorrere ad eventuali “trucchetti” che troverete nei prossimi paragrafi.

Per generalizzare meglio i concetti appresi finora vi lasciamo la definizione generale di equazione, che probabilmente troverete scritta nei vostri libri di testo molto simile:

Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni letterali (chiamate membri) per la quale cerchiamo gli eventuali valori che, sostituiti a una o più lettere, dette incognite, la rendono vera. Tutto quello a sinistra dell’uguale viene chiamato primo membro mentre tutto quello a destra dell’uguale secondo membro.

Principi di equivalenza

Per risolvere un’equazione cerchiamo di sostituirla con una equivalente più semplice. Ripetendo questo procedimento arriveremo in breve tempo a un equazione con soluzione immediata. Per passare da un’equazione a un altra più semplice si utilizzano i cosiddetti principi di equivalenza.

Primo principio

Sommando o sottraendo al primo e al secondo membro uno stesso numero (ad esempio un 5 o un 13 o un 22, ecc...) o una stessa espressione (ad esempio un x+1 o un 2x-3, ecc..) si ha un'equazione equivalente, ossia con la stessa soluzione (o lo stesso insieme si soluzioni).

In pratica se sommo 10 al primo membro, devo farlo anche al secondo membro. Stesso discorso per la sottrazione. In questo modo la soluzione non cambierà, sarà la stessa.

Esempio: risolvi l’equazione x+12=15

Proviamo a risolvere questa semplice equazione utilizzando il primo principio di equivalenza. Per farlo sottraiamo a sinistra e a destra il numero 12 in modo da isolare la x:

x+12-12=15-12\longrightarrow x=3

Ed ecco fatto, avete risolto la vostra prima equazione! Vi starete chiedendo perché vale questo principio. Per farvelo capire vi faccio un esempio. Fate finta di avere due cose uguali, facciamo 3 mele:

3 mele = 3 mele

Se aggiungiamo a destra e sinistra una stessa cosa, 2 biscotti, l’equazione che otteniamo rimane comunque vera:

3 mele +2 biscotti = 3 mele +2 biscotti

Come potete vedere, finché la cosa viene fatta sia al primo che al secondo membro, l’uguaglianza rimane sempre vera.

Secondo principio

Moltiplicando o dividendo sia il primo che il secondo membro per uno stesso numero o una stessa espressione si ha un'equazione equivalente.

La dimostrazione logica di questo principio è equivalente a quella del primo, quindi possiamo passare direttamente alla risoluzione di un’equazione utilizzando i due principi.

Esempio: risolvi l’equazione 4x-6=2

4x-6+6=2+6\longrightarrow 4x=8

Ora utilizziamo il secondo principio di equivalenza e dividiamo a sinistra e a destra per 4 in modo da isolare la x.

\frac{4x}{4}=\frac{8}{4}\longrightarrow x=2

Ed ecco risolta anche la nostra seconda equazione!

Per controllare se il valore trovato risolve effettivamente l'equazione si può fare la prova che consiste semplicemente nel sostituire il valore della soluzione all'interno dell'equazione di partenza:

4\cdot{2}-6=2\longrightarrow 2=2

Come potete notare l'uguaglianza è verificata e quindi il valore trovato è corretto perché verifica l'equazione.