Di seguito analizzeremo le equazioni irrazionali.
Un'equazione irrazionale è un'equazione in cui l'incognita compare dentro una radice. Esempi di equazioni irrazionali sono:
\sqrt{x+1} = 2
\sqrt{x-1}=x-3
\sqrt{x} - \sqrt{x+5} = -2
\sqrt[3]{x} = -8
\sqrt[4]{x+3} = -2
Mentre non sono equazioni irrazionali le seguenti:
x+2 = 7 perché non appare nessuna radice.
\sqrt{2}x+1 = 7 perché non compare alcuna incognita dentro la radice. \sqrt{2} è infatti soltanto una costante.
\sqrt{x+1-x} + 2x + 1 = 0 perché nella radice le incognite si semplificano e si tratta in realtà di \sqrt{1}.
Iniziamo studiando un caso più semplice:
Iniziamo con le equazioni irrazionali dove abbiamo soltanto una radice da un lato ed una costante dall'altro, per esempio:
\sqrt{x+2}=2
Per semplificare la radice vorremo eleverae entrambi i lati al quadrato, ma non sempre possiamo farlo. Vediamo un esempio per capire perché:
3=-3
Quest'equazione è ovviamente falsa perché 3 è diverso da -3, ma se eleviamo entrambi i lati al quadrato otteniamo:
(3)^2 = (-3)^2
9=9
Adesso però l'equazione è diventata vera. Se elevare al quadrato può cambiare la veridicità dell'equazione, come possiamo sapere se le soluzioni della nuova equazione sono anche soluzioni di quella vecchia?
Il fatto è che l'elevamento al quadrato non preserva i segni. Cioè se elevi un numero negativo al quadrato, esso diventa positivo, quindi gli hai cambiato segno.
Infatti nell'esempio di prima, 3 era diverso da -3 solo per via del suo segno ed elevandoli al quadrato li abbiamo resi entrambi positivi, per questo abbiamo ottenuto l'uguaglianza.
Dunque, prima di elevare al quadrato, dobbiamo suppore la concordanza dei segni, cioè i due lati dell'equazione devono avere lo stesso segno.
Nell'esempio di prima, avevamo:
\sqrt{x+2} = 2
Ricordiamoci che una radice quadrata è sempre positiva, quindi il lato sinistro è positivo. Anche il lato sinistro è positivo, possiamo quindi elevare al quadratro?
Ancora no. Dobbiamo infatti suppore anche che la radice esista. Ricordiamo infatti che la radice di indice pari di un numero negativo non esiste nei numeri reali, quindi dobbiamo suppore che il suo radicando sia maggiore o uguale a 0.
Nel nostro caso dovremo quindi supporre che:
x+2\geq 0
x\geq -2
Ora possiamo finalmente elevare entrambi i lati al quadrato ed ottenere:
(\sqrt{x+2})^2=2^2
x+2=4
x=2
la soluzione soddisfa le condizioni che abbiamo trovato prima? Dovevamo avere x\geq -2, che è ovviamente verificata, dunque x=2 è una soluzione accettabile.
Se la radice dell'equazione ha indice dispari, siccome non ci sono problemi di esistenza con esse ed elevare ad una potenza dispari preserva i segni, possiamo direttamente elevare alla potenza richiesta. Se ad esempio abbiamo:
\sqrt[3]{x+1} = 3
Possiamo direttamente elevare al cubo ed ottenere:
x+1 = 27
x = 26
Mentre se la radice ha l'indice pari e l'equazione è del seguente tipo:
\sqrt[n]{f(x)} = k
Possiamo mettere le condizioni e l'equazione a sistema per ottenere:
\left\{ \begin{array}{l} f(x)\geq 0 \\ k\geq 0\\ f(x)= k^n \end{array} \right.
Abbiamo messo tutto a sistema per indicare che le condizioni devono essere verificate.
Come abbiamo visto prima, se l'indice della radice è dispari non ci sono problemi nè di esistenza nè di cambiamenti del segno, dunque possiamo elevare entrambi i lati alla n ed ottenere:
f(x) = [g(x)]^n
Se ad esempio abbiamo:
\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 8x - 7} = x-1
Possiamo direttamente elevare tutto al cubo ed ottenere:
x^3 - 3x^2 + 8x -7 = (x-1)^3
x^3 - 3x^2 + 8x - 7 = x^3 - 3x^2 + 3x -1
8x-7=3x-1
5x=6
x={5\over 6}
Ed abbiamo risolto l'equazione.
Se però l'indice della radice è pari dobbiamo, come prima, stare attenti alla condizione di esistenza della radice e alla concordanza dei segni.
Per la prima, ci basta supporre f(x) \geq 0.
Siccome una radice di indice pari è sempre positiva, il lato sinistro sarà positivo. Quindi per la concordanza dei segni dobbiamo avere che anche il lato destro deve essere positivo, ovvero g(x) \geq 0.
Fatto questo, possiamo elevare alla n entrambi i lati ed ottenere:
f(x) = [g(x)]^n
Mettiamo a sistema l'equazione ottenuta con le condizioni per indicare che quest'ultime devono essere verificate ottenendo:
\left\{ \begin{array}{l} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0\\ f(x)= [g(x)]^n \end{array} \right.
Vediamo un esempio. Risolviamo l'equazione irrazionale:
\sqrt{x^2 -1} = x+4
Il nostro sistema diventa quindi:
\left\{ \begin{array}{l} x^2 - 1\geq 0 \\ x+4\geq 0\\ x^2 -1= (x+4)^2 \end{array} \right.
Ovvero:
\left\{ \begin{array}{l} x^2 \geq 1 \\ x\geq -4\\ x^2 -1= x^2 + 8x + 16 \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} x\leq -1 \vee x\geq 1 \\ x\geq -4\\ -1= 8x + 16 \end{array} \right.
Mettendo insieme le prima due condizioni otteniamo -4\leq x\leq -1 \vee x \geq 1:
\left\{ \begin{array}{l} -4\leq x \leq -1 \vee x \geq 1 \\ 8x= -17 \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} -4\leq x\leq -1 \vee x\geq 1\\ x={-17\over 8} \end{array} \right.
-17\over 8 è compreso tra -4 e -1 quindi la soluzione è accettabile.
Possiamo anche trovare equazioni irrazionali in cui compaiono più radici, per esempio:
\sqrt{x+3} + \sqrt{x-1} = 2
Per risolverla, isoliamo una delle radici:
\sqrt{x+3} = 2 - \sqrt{x-1}
Prima di elevare al quadrato dobbiamo controllare le condizioni di esistenza delle radici e la concordanza dei segni.
Per la prima, dobbiamo avere x+3\geq 0 e x-1\geq 0 che mettendole insieme diventano x\geq 1.
Per la concordanza dei segni, il lato sinistro è positivo in quanto si tratta soltanto di una radice, quindi anche il lato destro dovrà essere positivo.
Dobbiamo quindi avere 2-\sqrt{x-1} \geq 0, ovvero \sqrt{x-1} \leq 2. Si tratta di una disequazione irrazionale. Siccome entrambi i lati sono positivi e abbiamo già supposto che la radice esista, possiamo elevare entrambi i lati ed ottenere:
x-1\leq 4
x \leq 5
Quindi la condizione per elevare al quadrato sarà 1\leq x \leq 5.
Fatto questo, possiamo effettivamente elevare al quadrato ed ottenere:
(\sqrt{x+3})^2 = (2-\sqrt{x-1})
x+3 = 4 -2\sqrt{x-1} + x-1
3 = 3 - 2\sqrt{x-1}
0 = -2 \sqrt{x-1}
0=\sqrt{x-1}
Affinchè una radice sia uguale a 0, il suo radicando deve essere uguale a 0 ed otteniamo quindi:
x-1 = 0
x =1
La condizione era -1\leq x \leq 5 e dunque x=1 è una soluzione accettabile.
Quindi, in generale, quando avete un'equazione con più radici, solitamente conviene isolarne una, controllare tutte le condizioni per elvevare al quadrato o qualsivoglia potenza se necessaria, quindi elevare e semplficare. In questo modo dovreste ottenere un'equazione più facile da risolvere.
Risolvete la seguente equazione irrazionale:
\sqrt{2x + 3} = x - 1
x = 2 + \sqrt{6}
Iniziamo trovando le condizioni di esistenza:
Il radicando deve essere maggiore o uguale a 0, quindi dobbiamo avere:
2x + 3 \geq 0
x\geq -{3\over 2}
Prima di elevare al quadrato, la parte destra dell'equazione deve essere maggiore o uguale a 0 per la concordanza dei segni:
x - 1 \geq 0
x\geq 1
Quindi, la condizione finale sarà x \geq 1 (perché x\geq 1 include x \geq -{3\over 2}).
Ora risolviamo l'equazione elevando al quadrato entrambi i lati:
2x + 3 = (x - 1)^2
2x + 3 = x^2 - 2x + 1
x^2 - 4x - 2 = 0
Risolviamo l'equazione di secondo grado ed otteniamo le soluzioni:
x = 2 + \sqrt{6} e x = 2 - \sqrt{6}
Dobbiamo però controllare se verifichano le condizioni che abbiamo trovato prima:
2 + \sqrt{6} soddisfa le condizioni, quindi è accettabile.
2 - \sqrt{6} non soddisfa le condizioni, dunque non è accettabile e l'unica soluzione è 2 + \sqrt{6}.
x = 2 + \sqrt{6}
Risolvete la seguente equazione irrazionale:
\sqrt{5 - x} = x + 1
x = 1
Iniziamo trovando le condizioni di esistenza:
Il radicando deve essere maggiore o uguale a 0:
5 - x \geq 0
x \leq 5
Prima di elevare al quadrato, per la concordanza dei segni, il lato destro dell'equazione deve essere maggiore o uguale a 0:
x + 1 \geq 0
x \geq -1
Quindi, unendola alla condizione di esistenza, dovremo avere -1\leq x \leq 5.
Ora eleviamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione:
5 - x = (x + 1)^2
5 - x = x^2 + 2x + 1
Riorganizziamo l'equazione e risolviamo l'equazione quadratica:
x^2 + 3x - 4 = 0
Le soluzioni sono x = 1 e x = -4, ma solo x = 1 soddisfa le condizioni che abbiamo trovato prima, quindi sarà solo quella la soluzione dell'equazione iniziale.
x =1
Risolvete la seguente equazione irrazionale:
\sqrt{x + 4} = x - 2
x = 5
Cominciamo trovando le condizioni di esistenza:
Il radicando deve essere maggiore o uguale a 0:
x + 4 \geq 0
x \geq -4
Prima di elevare al quadrato dobbiamo imporre, per la concordanza dei segni, che la parte destra dell'equazione sia maggiore o uguale a 0:
x - 2 \geq 0
x \geq 2
Unendo le due condizioni insieme otteniamo x \geq 2.
Ora possiamo elevare al quadrato entrambi i lati dell'equazione ed ottenere:
x + 4 = (x - 2)^2
Sviluppiamo il quadrato e risolviamo l'equazione:
x + 4 = x^2 - 4x + 4
x^2 - 5x = 0
x(x - 5) = 0
Le soluzioni sono x = 0 e x = 5, ma solo x = 5 soddisfa la condizione che abbiamo trovato prima (x\geq 2), dunque solo quest'ultima è accettabile.
x=5
Risolvete la seguente equazione irrazionale:
\sqrt{2x - 1} = 3 - x
x = 4 - \sqrt{6}
Iniziamo trovando le condizioni di esistenza:
Il radicando deve essere maggiore o uguale a 0:
2x - 1 \geq 0
x \geq \frac{1}{2}
Prima di elevare al quadrato, controlliamo, per la concordanza dei segni, che la parte destra dell'equazione sia maggiore o uguale a 0:
3 - x \geq 0
x \leq 3
Mettendo insieme le due condizioni otteniamo {1\over 2} \leq x \leq 3.
Eleviamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione:
2x - 1 = (3 - x)^2
Sviluppiamo il quadrato e risolviamo l'equazione:
2x - 1 = 9 - 6x + x^2
x^2 - 8x + 10 = 0
x = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2}
Le soluzioni sono x = 4 + \sqrt{6} e x = 4-\sqrt{6}, ma solo la seconda rispetta la condizione che abbiamo trovato prima (4+\sqrt{6} è maggiore di 3), quindi solo essa sarà accettabile.
x = 4 - \sqrt{6}
Risolvete la seguente equazione irrazionale:
\sqrt{x + 6} = 2x - 1
x = \frac{5 + \sqrt{105}}{8}
Cominciamo trovando le condizioni di esistenza:
Il radicando deve essere maggiore o uguale a 0:
x + 6 \geq 0
x \geq -6
Prima di elevare al quadrato, dobbiamo controllare che la parte destra dell'equazione sia maggiore o uguale a 0 per la concordanza dei segni:
2x - 1 \geq 0
x \geq \frac{1}{2}
Mettendo insieme le due condizioni otteniamo x\geq {1\over 2}.
Eleviamo quindi al quadrato entrambi i lati dell'equazione:
x + 6 = (2x - 1)^2
Sviluppiamo il quadrato e risolviamo l'equazione:
x + 6 = 4x^2 - 4x + 1
4x^2 - 5x - 5 = 0
x = \frac{5 \pm \sqrt{105}}{8}
{5-\sqrt{105}\over 8} è minore di {1\over 2}, quindi non è accettabile, mentre {5 + \sqrt{105}\over 8} è accettabile.
x = {5 + \sqrt{105}\over 8}