Equazioni esponenziali

Di seguito analizzeremo le equazioni esponenziali.

Con logaritmi

Cos'è un'equazione esponenziale


Un'equazione esponenziale è un'equazione con almeno un'incognita come esponente di una potenza. In generale quindi è un'equazione del tipo:


a^{f(x)}=g(x)


dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti l'incognita x. Guardiamo ora al caso particolare in cui f(x)=x e g(x)=b, ovvero alle equazioni esponenziali del tipo:


a^x = b


Iniziamo notando che se b < 0 l'equazione è impossibile perché, come abbiamo visto nella lezione delle funzioni esponenziali, un'esponenziale è sempre positivo, dunque è impossibile che sia uguale ad un numero negativo.


In ogni caso, per b>0 avremo sempre una sola soluzione.


Adesso proviamo capire come si può risolvere un equazione esponenziale. Se b si riesce a scrivere nella forma a^y, allora avremmo un'equazione del tipo a^x=a^y e quindi la soluzione immediata sarebbe x=y. Vediamo qualche esempio:


3^x = 81 \longrightarrow 3^x = 3^4 \longrightarrow x= 4


2^x =32 \longrightarrow2^x = 2^5 \longrightarrow x=5


Risolvere le equazioni esponenziali con logaritmi


Nel caso in cui b non si possa riscrivere facilmente come a^y, allora dobbiamo ricorrere all'aiuto dei logaritmi. Infatti un equazione esponenziale si può risolvere usando la definizione di logaritmo nel seguente modo:


a^x =b \longleftrightarrow x=\log_a (b)


Vediamo qualche esempio:


3^x = 7 \longleftrightarrow x= \log_{3} (7)


5^x = 29 \longleftrightarrow x=\log_{5} (29)


Grazie ai logaritmi possiamo risolvere anche equazioni con più potenze con incognite come esponente. Basterà infatti prendere un logaritmo (solitamente base 10) da entrambi i lati ed usare la proprietà del logaritmo di una potenza. Facciamo qualche esempio:


Vogliamo risolvere l'equazione:


3\cdot 5^{3x}=11^{x+1}


Siccome abbiamo quantità positive da entrambi i lati, prendiamo il logaritmo base 10 da entrambi i lati:


\log_{10} (3 \cdot 5^{3x})=\log_{10}(11^{x+1})


Indichiamo il logaritmo base 10 di x come \log x per evitare di scrivere centinaia di volte 10.


Usiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto per dividere il logaritmo di sinistra in due logaritmi:


\log(3) + \log((5^3)^x)=\log(11^{x+1})


Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza ed isoliamo x:


\log(3) +x \log(5^3) =(x+1) \log(11)


\log(3) + x \log(125) = x \log (11) + \log (11)


x \log(125) - x \log (11)=\log(11) - \log (3)


x (\log(125) - \log(11)) = \log (11) - \log(3)


Usiamo la proprietà della differenza tra due logaritmi con stessa base (ovvero la proprietà del logaritmo di un quoziente applicata al contrario) per semplificare:


x \log ({125\over 11})= \log ({11\over 3})


x= {\log ({11\over 3})\over \log({125 \over 11})}


Se vogliamo avere un risultato approssimativo, possiamo usare la calcolatrice per scoprire che:


x \approx 0.53459