Un'equazione logaritmica è un'equazione con almeno un logaritmo con un incognita nell'argomento. Noi analizzeremo le equazioni logaritmiche del tipo:
\log_{a} (A(x)) = \log_{a} (B(x))
Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere A(x),B(x),a>0. Siccome la funzione \log_{a} (x) è una funzione iniettiva dobbiamo avere:
A(x)=B(x)
Dobbiamo solo stare attenti alle condizioni di esistenza. Vediamo qualche esempio:
Risolviamo l'equazione logaritmica:
\log_{3} (10x) = \log_{3} (x+1)
Le condizioni di esistenza saranno:
10x>0
x>0
e
x+1>0
x>-1
Otteniamo quindi che in generale la condizione di esistenza è x>0.
Detto questo, dovremo avere:
10x=x+1
9x=1
x={1\over 9}
Siccome {1\over 9}>0 , la soluzione è accettabile.
Risolviamo l'equazione logaritmica:
\log (x+1) + \log(x+3) = \log(3x +4)
Le condizioni di esistenza saranno:
x+1>0
x>-1
x+3>0
x>-3
3x+4>0
x>-{4\over 3}
E quindi in generale la condizione di esistenza sarà x>-1
Utilizziamo la proprietà del logaritmo di un prodotto applicata al contrario per unire i due logaritmi a sinistra dell'uguale:
\log ((x+1)\cdot (x+3))= \log(3x+4)
\log(x^2 +4x +3) =\log (3x+4)
E dovremo quindi avere:
x^2 +4x +3 = 3x +4
x^2 +x -1 = 0
x_{1;2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4} }{2}= \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
La soluzione x={1+\sqrt{5} \over 2} è maggiore di 0, quindi sarà pure maggiore di -1 e dunque accettabile.
La seconda invece è maggiore di -1?
{1 - \sqrt {5} \over 2}>-1
1- \sqrt{5} >-2
-\sqrt{5} >-3
Moltiplichiamo entrambi i lati per -1, ricordandoci di cambiare il verso della disequazione:
\sqrt{5}< 3
Siccome \sqrt{5} è compresa tra 2 e 3, la disequazione deve essere vera e dunque anche la seconda soluzione è maggiore di -1, ed è dunque accettabile.
Come abbiamo visto, si tratta solo di semplificare conoscendo le proprietà dei logaritmi e controllare le condizioni di esistenza.
Una disequazione logaritmica è una disequazione con almeno un logaritmo con un'incognita nell'argomento. Noi per ora vedremo le disequazioni logaritmiche del tipo:
\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))
O con <, \geq o \leq al posto di >.
Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere A(x),B(x),a>0.
Dobbiamo dividere in due casi:
In tal caso sappiamo che il logaritmo base a è una funzione monotona crescente (sempre crescente). Di conseguenza, se
x> y
Avremo
\log_{a} (x) > \log_{a} (y)
Perché passando da y ad x deve aumentare.
(questo vale anche con <, \geq o \leq al posto di >)
e quindi applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione, avremo che se:
\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))
Dovremo avere:
A(x)>B(x)
Che possiamo risolvere. Ricordiamoci però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.
In tal caso avremo che se abbiamo:
x>y
Siccome il logaritmo base a con a compresa tra 0 ed 1 è una funzione monotona decrescente (sempre decrescente), dovremo avere:
\log_{a} (x) < \log_{a} (y)
(questo vale anche con <, \geq o \leq , basta che invertite sempre il verso della disequazione)
perché passando da y ad x deve diminuire.
Di conseguenza, applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione logaritmica, avremo:
\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))
A(x) < B(x)
che possiamo risolvere, senza dimenticare però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.
Quindi, se abbiamo una disequazione logarimtica del tipo:
\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))
se a> 1, allora:
A(x) > B(x)
se 0< a < 1, va cambiato il segno della disequazione e quindi:
A(x) < B(x)
Tenendo sempre a mente le condizioni di esistenza che sono a,A(x),B(x)>0.
Risolvi l'equazione logaritmica:
\log_3(x) = 2
x = 9
Per risolvere l'equazione, esponenziamo (supponendo x > 0) entrambi i membri per la base del logaritmo (3):
3^{\log_3(x)} = 3^2
x = 9
x = 9
Risolvi l'equazione logaritmica:
\log_5(x + 4) = 2
x = 21
Per risolvere l'equazione, esponenziamo (supponendo x > -4) entrambi i membri per la base del logaritmo (5):
5^{\log_5(x + 4)} = 5^2
x + 4 = 25
x = 25 - 4
x = 21
x = 21
Risolvi l'equazione logaritmica:
\log_2(x - 1) + \log_2(x + 3) = 3
x = -1 + 2\sqrt{3}
Innanzitutto, dobbiamo verificare che i due logaritmi esistano. Il loro argomento deve essere maggiore di 0, per questo la condizione di esistenza sarà:
x > 1
Ora usiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto per unire i due logaritmi in uno:
\log_2((x - 1)(x + 3)) = 3
\log_2(x^2 + 2x -3) = \log_2(8)
Eguagliamo gli argomento e risolviamo l'equazione quadratica:
x^2 + 2x - 3 = 8
Le soluzioni dell'equazione sono -1 + 2\sqrt{3} e -1 - 2\sqrt{3}. Tuttavia, dobbiamo scartare la seconda soluzione perché è minore di 1 e non rispetta quindi la condizione di esistenza.
x = -1 + 2\sqrt{3}
Risolvi la seguente disequazione logaritmica:
\log_2(x) < 3
0 < x < 8
Per risolvere la disequazione, riscriviamo 3 come \log_2(2^3):
{\log_2(x)} < \log_2(2^3)
Quindi, supponendo che x sia maggiore di 0 (perché l'argomento non può essere negativo), portiamo la disequazione agli argomenti:
x < 8
Tuttavia, abbiamo appena detto che x doveva anche essere maggiore di 0, per cui la soluzione sarà 0 < x < 8.
0 < x < 8
Risolvi la seguente disequazione logaritmica:
\log_2(x + 1) - \log_2(x - 3) > 1
3 < x < 7
Iniziamo controllando le condizioni di esistenza:
Gli argomenti dei logaritmi devono essere maggiori di 0, per cui la condizione di esistenza sarà x > 3.
Ora combiniamo i logaritmi usando la proprietà del logaritmo di un quoziente:
\log_2\left(\frac{x + 1}{x - 3}\right) > 1
Riscriviamo 1 come \log_2(2):
\log_2\left(\frac{x + 1}{x - 3}\right) > \log_2(2)
Siccome la base del logaritmo è maggiore di 1, possiamo portare direttamente la disequazione agli argomenti:
\frac{x + 1}{x - 3} > 2
Risolviamo quindi la disequazione fratta:
Sappiamo che x > 3, quindi il denominatore sarà maggiore di 0, per questo possiamo moltiplicare entrambi i lati per esso e semplificare:
x + 1 > 2(x - 3)
x < 7
Siccome la condizione di esistenza era x > 3, la soluzione finale sarà 3 < x < 7.
3 < x < 7