Disequazioni lineari a due incognite

Di seguito analizzeremo le disequazioni lineari a due incognite.

Cosa sono

Risoluzione


Cosa sono?


Le disequazioni lineari a due incognite sono delle disequazioni in cui appaiono due incognite (solitamente \(x\) ed \(y\)) di primo grado.


Ecco alcuni esempi di disequazioni lineari a due incognite:


\(3x + 2y>0\)


\(x+4y<-1\)


\(13x \geq 3y + 17\)


Mentre non sono disequazioni lineari a due incognite le seguenti:


\(10x>90\) perché compare una sola incognita


\(xy > 8\) perché appare un termine di secondo grado (\(xy\), avendo due incognite moltiplicate, conta come secondo grado in questo caso)


\(y^3 + x > 7\) perché non tutte le incognite sono di primo grado.



Come risolverle


Per risolvere una disequazione di secondo grado, dobbiamo trovare tutte le coppie ordinate di numeri \((x,y)\) che la soddisfano.


Una coppia di punti soddisfa la disequazione se sostituendo i corrispettivi valori la disequazione è verificata.


Se ad esempio abbiamo la disequazione \(2x > 3y + 1,\) la coppia \((10;1)\) è una soluzione, perché \(20> 3+1.\)


Notiamo che possiamo collegare ogni coppia ordinata di numeri ad un punto nel piano cartesiano. Ci basta infatti prendere il punto che ha come ascissa il primo numero della coppia e come ordinata il secondo numero.


La coppia \((10;1)\) viene quindi associata al punto \(P\) di coordinate \((10;1):\)

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Ora isoliamo la \(y\) nella disequazione. Nel nostro caso avremo:


\(-3y> 1-2x \)


\(y< {2\over 3}x-{1\over 3}\)


Ora vediamo cosa succede quando abbiamo l'uguaglianza invece del minore:


\(y = {2\over 3} x - {1\over 3}\)


Si tratta dell'equazione di una retta. Se infatti andiamo a colorare tutti i punti che soddisfano quest'equazione otteniamo:

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Le \(y\) che verificano l'uguaglianza, quindi, si trovano sulla retta. Se chiediamo di trovare le \(y\) minori ad essa, ci basta prendere le \(y\) che "stanno più in basso" nel piano.


Quindi, nel nostro caso, le soluzioni alla disequazione sono tutti i punti che si trovano nel semipiano sotto alla retta \(y={2\over 3}x -{1\over 3}:\)

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Notate che infatti il punto \((10;1)\) si trova in questa parte di piano:

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Quindi, tutto quello che dobbiamo fare per risolvere questo tipo di disequazioni è isolare la \(y\) e guardare alla retta associata. A seconda del segno della disequazione, prenderemo il semipiano che si trova sopra o sotto della retta associata.


Se abbiamo \(<,\) prendiamo i valori minori, quindi prenderemo il semipiano sotto la retta.


Se abbiamo \(>,\) prendiamo i valori maggiori, dunque prenderemo il semipiano sopra la retta.


Se abbiamo \(\leq,\) prenderemo i valori minori o uguali, quindi prenderemo il semipiano sotto la retta ed anche la retta, perché pure l'uguaglianza va bene.


Se infine abbiamo \(\geq,\) prenderemo i valori maggiori o uguali, dunque prenderemo il semipiano sopra la retta ed anche la retta perché pure in questo caso ve bene l'uguaglianza.