Disequazioni esponenziali

Di seguito analizzeremo le disequazioni esponenziali.

Base > 0

0 < Base < 1

Con logaritmi


Cos'è una disequazione esponenziale?


Una disequazione esponenziale è una disequazione in cui appare almeno una potenza con l'incognita nell'esponente. Esse sono quindi disequazioni del tipo:


\(a^{f(x)} > g(x) \)


o con \(<\) ,\(\geq\) o \(\leq\) al posto di \(>\).


Iniziamo vedendo il caso particolare in cui \(f(x) = x\) e \(g(x)\) è costante. Avremo quindi disequazioni del tipo:


\(a^x > b \)


Dobbiamo dividere queste disequazioni in due casi:



La base \(a\) è maggiore di 1


In questo caso per prima cosa risolviamo l'equazione associata:


\(a^x =b\)


Una volta fatto questo, sapendo che la funzione \(a^x\) è monotona crescente (ovvero aumenta sempre), troviamo la soluzione della disequazione.

Disequazione esponenziale 1

Vediamo qualche esempio.


Risolviamo la disequazione esponenziale:


\(3^x > 81 \)


Risolviamo l'equazione associata:


\(3^x = 81 \)


\(3^x = 3^4\)


\(x= 4 \)


Sappiamo che \(3^x\) aumenta sempre, quindi per \(x > 4\) sarà sempre maggiore di 81. Quindi la soluzione è \(x>4\).


Risolviamo la disequazione esponenziale:


\(5^x \leq 125 \)


Risolviamo l'equazione associata:


\(5^x = 125\)


\(5^x = 5^3 \)


\(x= 3\)


Sappiamo che \(5^x\) aumenta sempre, quindi per \(x>3\) sarà sempre maggiore di 125, mentre per \(x < 3\) sarà sempre minore di 125. La soluzione è quindi \(x \leq 3\).


La base \(a\) è compresa tra 0 e 1


In tal caso il procedimento è lo stesso, ma questa volta la funzione sarà monotona decrescente (ovvero diminuisce sempre).

Disequazione esponenziale 2

Vediamo qualche esempio:


Risolviamo la disequazione esponenziale:


\(({1 \over 2})^x < {1\over 32} \)


Risolviamo l'equazione associata:


\(({1\over 2})^x ={1\over 32} \)


\(({1\over 2})^x =({1\over 2})^5 \)


\(x=5 \)


Siccome \(({1\over 2})^x\) diminuisce sempre, per \(x>5\) sarà sempre minore di \({1\over 32}\), quindi la soluzione è proprio \(x>5\).


Risolviamo la disequazione esponenziale:


\(({1\over 3})^x \geq {1\over 9} \)


Risolviamo l'equazione associata:


\(({1\over 3})^x ={1\over 9}\)


\(({1\over 3})^x =({1\over 3})^2 \)


\(x=2 \)


Siccome \(({1\over 3})^x\) diminuisce sempre, per \(x>2\) sarà sempre minore di \({1\over 9}\) e sarà invece maggiore di \({1\over 9}\) per \(x < 2\), quindi la soluzione è proprio \(x\leq 2\).



Disequazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi


Usando i logaritmi possiamo risolvere disequazioni esponenziali più complicate, dove possono apparire più potenze con incognite all'esponente. Ci basterà applicare il logaritmo base 10 da entrambi i lati e semplificare. Possiamo pure applicare logaritmi con altre basi, ma se è compresa tra 0 ed 1 dobbiamo cambiare il segno della disequazione, perché:


Dato \(x>y\), se \(a>1\), avremo:


\(\log_{a} (x) >\log_{a} (y)\)


Mentre se \(0 < a < 1\) , avremo:


\(\log_{a} (x) < \log_{a} (y) \)


In generale conviene quindi applicare sempre il logaritmo base 10 e non avere paura di dover cambiare qualcosa.


Vediamo qualche esempio:


Risolviamo la disequazione esponenziale:


\(5\cdot 3^x > 2^{x-3} \)


Abbiamo quantità positive da entrambi i lati, quindi applichiamo il logaritmo base 10 da entrambi i lati:


\(\log_{10}(5 \cdot 3^x) > \log_{10}(2^{x-3}) \)


Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto e sottintendiamo \(\log_{10}\) con \(\log\):


\(\log (5) + \log (3^x) >\)\( \log (2^{x-3}) \)


Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza ed isoliamo x:


\(\log(5) + x \log(3) >\)\( (x-3) \log(2) \)


\(\log (5) + x\log (3) >\)\(x\log(2) -3\log(2) \)


\(x\log(3) - x\log(2) >\)\( -\log(5) -3\log(2)\)


\(x( \log(3) -\log(2))>\)\(-(\log(5)+3\log(2)) \)


Siccome \(\log(3) -\log(2)\) è una quantità positiva, possiamo dividere entrambi i lati per essa:


\(x> -\frac{\log(5)+3\log(2)}{\log(3)-\log(2)} \)