Una disequazione è detta lineare se è una disequazione di primo grado ad un'incognita.
Sarà quindi uguale ad un'equazione di primo grado, solo che al posto dell'uguale avremo <, >, \leq o \geq .
Ecco qualche esempio di disequazione lineare:
2x > 1
3x +2 < 2x + 5
7x-9 \geq 7
x > 2+13
x-2x \leq 1
Non sono, invece, disequazioni lineari le seguenti:
x^2 > 3x perché appare un termine di secondo grado.
xy > y +3 perché abbiamo due incognite.
5>3 perché non appaiono incognite
Per risolvere una disequazione lineare vogliamo ricondurla alla forma:
ax > b
o con <, \geq o \leq al posto di >.
Prendiamo ad esempio la disequazione:
3x+5 > 4x + 2
Portiamo tutti i termini con la x da una parte e i termini noti dall'altra:
3x - 4x > 2- 5
e semplifichiamo:
-x > -3
Abbiamo ricondotto l'equazione alla forma:
ax > b
Ora, per isolare la x, vogliamo dividere entrambi i lati per a. Ricordate però che se si moltiplica o divide entrambi i lati di una disequazione per un numero negativo, dobbiamo cambiare il verso della disequazione (per esempio da < a >).
Nel nostro caso avremo:
-x >-3
-1 \cdot x > -3
{-1 \cdot x \over -1} < {-3 \over -1}
x< 3
ed abbiamo risolto la disequazione lineare.
In generale quindi, una volta arrivati alla forma:
ax > b
avremo:
x> {b\over a} se a>0
x < {b\over a} se a < 0
Potrebbero capitarvi disequazioni lineari più lunghe e quindi più difficili da semplificare, ma il procedimento è sempre lo stesso, dovete solo fare qualche calcolo in più.
Risolvi la seguente disequazione lineare:
3x - 4 < 2
x < 2
Per risolvere la disequazione 3x - 4 < 2 , seguiamo questi passaggi:
Primo, isoliamo x dall'altra parte della disequazione:
3x < 2 + 4
Che diventa:
3x < 6
Poi dividiamo entrambi i lati per 3:
x < \frac{6}{3}
Il che ci dà la soluzione finale:
x < 2
Risolvi la seguente disequazione lineare:
5x + 3 \geq 7x - 1
x \leq 2
Per risolvere la disequazione 5x + 3 \geq 7x - 1 , seguiamo questi passaggi:
Primo, portiamo tutti i termini con x da un lato della disequazione e i termini senza x dall'altro:
5x - 7x \geq -1 - 3
Che diventa:
-2x \geq -4
Poi dividiamo entrambi i lati per -2, ricordando di invertire il verso della disequazione:
x \leq \frac{-4}{-2}
Il che ci dà la soluzione finale:
x \leq 2
Risolvi la seguente disequazione lineare:
-2x + 5 > 3 - x
x < 2
Per risolvere la disequazione -2x + 5 > 3 - x , seguiamo questi passaggi:
Primo, portiamo tutti i termini con x da un lato della disequazione e i termini noti dall'altro:
-2x + x > 3 - 5
Che diventa:
-x > -2
Poi dividiamo entrambi i lati per -1, ricordando di invertire il segno della disequazione:
x < \frac{-2}{-1}
Il che ci dà la soluzione finale:
x < 2
Risolvi la seguente disequazione lineare:
\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} \leq \frac{2}{3}x + \frac{1}{6}
x \geq -\frac{11}{2}
Per risolverla, portiamo tutti i termini con x da un lato della disequazione e i termini senza x dall'altro:
\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x \leq \frac{1}{6} + \frac{3}{4}
Che diventa:
-\frac{1}{6}x \leq \frac{11}{12}
Poi dividiamo entrambi i lati per -{1\over 6}, ricordando di invertire il segno della disequazione:
x \geq {\frac{11}{12}\over -\frac{1}{6}}
Il che ci dà la soluzione finale:
x \geq -\frac{11}{2}
Risolvi la seguente disequazione lineare:
\frac{5}{3}x - 2 > 1 - \frac{3}{2}x
x > \frac{18}{19}
Per risolverla portiamo tutti i termini con x da un lato della disequazione e i termini senza x dall'altro:
\frac{5}{3}x + \frac{3}{2}x > 1 + 2
Che diventa, dopo aver semplificato:
\frac{19}{6}x > 3
Poi dividiamo entrambi i lati per \frac{19}{6}:
x > \frac{3}{\frac{19}{6}}
Il che ci dà la soluzione finale:
x > \frac{18}{19}