Circonferenza

La circonferenza

Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro.

L’equazione di una circonferenza di conseguenza si ottiene ponendo la seguente condizione a un punto P(x,y)

\sqrt {(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2}=r

\longrightarrow (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2=r^2

Dove \alpha e \beta sono le coordinate del centro C e r è il raggio della circonferenza, ovvero la distanza tra i punti e il centro.

Quindi se il centro della circonferenza coincide con l'origine, \alpha e \beta sono 0 e l’equazione risulta:

x^2 + y^2=r^2

Equazione in forma implicita

Notiamo che l’equazione della circonferenza è di secondo grado e che da essa si ricava anche l’equazione in forma implicita della circonferenza:

x^2+y^2+ax+by+c =0

Per dimostrarla, partiamo dall'equazione in forma esplicita ed espandiamo i quadrati dei binomi.

Svolgendo i calcoli troviamo che sarà:

x^2+y^2-2\alpha x-2 \beta y+ \alpha^2+ \beta^2-r^2=0

Definiamo ora i coefficienti numerici a, b e c come:

a=-2\alpha

b = -2 \beta

c=\alpha^2+\beta^2-r^2

Sostituendo otteniamo infatti l'equazione desiderata.

L’equazione di una circonferenza si distingue da quella di una conica generica perché rispetta 3 condizioni:

1.   I coefficienti dei termini al quadrato sono uguali

2.   Non compare il termine rettangolare (cioè non c'è nulla del tipo xy)

3.   Il raggio \sqrt{a^2+b^2-c}   è   \geq 0

Trovare l’equazione di una circonferenza

Conoscendo il raggio e il centro di una circonferenza è possibile trovare la sua equazione.

Il metodo consiste nell’applicare la formula vista prima sostituendo le coordinate del centro a \alpha e \beta mentre a r la misura del raggio.

(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2=r^2

Possiamo pure conoscere soltanto 3 punti appartenenti alla circonferenza per trovare la sua equazione. Infatti, ricordiamo che per 3 punti non allineati passa una e una sola circonferenza.

Per fare questo ci basterà sostituire le coordinate dei punti all’equazione generale e risolvere un sistema a 3 equazioni e 3 incognite.

Esempio:

Troviamo l'equazione della circonferenza passante per i seguenti punti:

A(0, 2), B(2, 4) e C(1, 0)

Ricordando che l'equazione generica della circonferenza è x^2+y^2+ax+by+c =0, possiamo impostare il sistema a tre equazioni e tre incognite:

\left\{ \begin{array}{l} 4+2b+c =0\\ 4+16+2a+4b+c =0\\ 1+a+c =0\end{array} \right.    \longrightarrow    \left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ 20+2a+4b+c =0\\ c =-a-1\end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ 20+2a-6+2a-a-1 =0\\ c =-a-1\end{array} \right.    \longrightarrow    \left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ a =-{13 \over 3}\\ c =-a-1\end{array} \right.

a = -{13 \over 3},    b = - {11 \over 3},    c= {10 \over 3}

Quindi la soluzione sarà:

x^2+y^2- {13 \over 3}x+- {11\over 3}y+{10 \over 3} =0

Metodo alternativo

Come avrete intuito risolvere un sistema a 3 equazioni e 3 incognite è un metodo abbastanza ostico per trovare l’equazione della circonferenza dati 3 punti. Per questo motivo suggeriamo quest’altro metodo che può rivelarsi più veloce:

Conoscendo le proprietà dell'asse di un segmento sappiamo che ogni punto ad esso appartenente è equidistante da gli estremi. E con questo?

Sfruttando questa proprietà troviamo le 2 equazioni degli assi dei 2 segmenti che uniscono 2 dei nostri 3 punti e, mettendole a sistema, troviamo il loro punto di intersezione.

Ora avendo tracciato i 2 assi ci accorgiamo facilmente che il loro punto di intersezione è equidistante dai 3 punti di partenza. Ecco trovato il nostro centro.

L’ultimo passo è calcolare il raggio che è semplicemente la distanza tra il centro e uno qualsiasi dei nostri punti.

Posizione di una retta rispetto a una circonferenza

Una retta può essere posizionata in 3 modi rispetto a una circonferenza:

•   Tangente (2 intersezioni coincidenti, perpendicolare al raggio) \Delta = 0

•   Secante (2 intersezioni) \Delta > 0

•   Esterna (nessuna intersezione) \Delta < 0

Date una retta e una circonferenza possiamo verificare la loro posizione reciproca analizzando il \Delta della risolvente (equazione a una sola incognita ottenuta in un sistema eliminando le altre incognite).

Se il \Delta è maggiore di 0 la retta sarà secante, se uguale a 0 la retta sarà tangente, mentre se il \Delta è minore di 0 la retta sarà esterna.

Esempio:

Verifica che la retta y-3x=0 sia tangente alla circonferenza x^2+y^2-6x+2y=0

\left\{ \begin{array}{l}y-3x=0\\x^2+y^2-6x+2y=0\end{array} \right.    \longrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}y=3x\\x^2+y^2-6x+2y=0\end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l}y=3x\\x^2+9x^2 -6x + 6x=0\end{array} \right.    \longrightarrow   10x^2=0   \longrightarrow   \Delta = 0   - Tangente

Un altro modo per verificare la posizione retta-circonferenza è quello di calcolare la distanza tra la retta e il centro della circonferenza e confrontarlo con il raggio, se è maggiore sarà esterna, se minore secante e se uguale tangente.