Circonferenza

La figura piana perfetta.

Eq. implicita

Trovare l'eq.

Circ. e retta


La circonferenza


Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro.

Circonferenza

L’equazione di una circonferenza di conseguenza si ottiene ponendo la seguente condizione a un punto \(P(x,y)\)


\(\sqrt {(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2}=r\)


\(\longrightarrow (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2=r^2\)


Dove \(\alpha\) e \(\beta\) sono le coordinate del centro \(C\) e \(r\) è il raggio della circonferenza, ovvero la distanza tra i punti e il centro.


Quindi se il centro della circonferenza coincide con l'origine, \(\alpha\) e \(\beta\) sono \(0\) e l’equazione risulta:

\[x^2 + y^2=r^2\]



Equazione in forma implicita


Notiamo che l’equazione della circonferenza è di secondo grado e che da essa si ricava anche l’equazione in forma implicita della circonferenza:

\[x^2+y^2+ax+by+c =0\]

Per dimostrarla, partiamo dall'equazione in forma esplicita ed espandiamo i quadrati dei binomi.


Svolgendo i calcoli troviamo che sarà:


\(x^2+y^2-2\alpha x-2 \beta y+ \alpha^2+ \beta^2-r^2\)\(=0\)


Definiamo ora i coefficienti numerici \(a\), \(b\) e \(c\) come:


\(a=-2\alpha\)


\(b = -2 \beta\)


\(c=\alpha^2+\beta^2-r^2\)


Sostituendo otteniamo infatti l'equazione desiderata.


L’equazione di una circonferenza si distingue da quella di una conica generica perché rispetta \(3\) condizioni:


1.   I coefficienti dei termini al quadrato sono uguali


2.   Non compare il termine rettangolare (cioè non c'è nulla del tipo \(xy\))


3.   Il raggio \(\sqrt{a^2+b^2-c}\)   è   \(\geq 0\)



Trovare l’equazione di una circonferenza


Conoscendo il raggio e il centro di una circonferenza è possibile trovare la sua equazione.


Il metodo consiste nell’applicare la formula vista prima sostituendo le coordinate del centro a \(\alpha\) e \(\beta\) mentre a \(r\) la misura del raggio.

\[(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2=r^2\]

Possiamo pure conoscere soltanto \(3\) punti appartenenti alla circonferenza per trovare la sua equazione. Infatti, ricordiamo che per \(3\) punti non allineati passa una e una sola circonferenza.


Per fare questo ci basterà sostituire le coordinate dei punti all’equazione generale e risolvere un sistema a \(3\) equazioni e \(3\) incognite.


Esempio:


Troviamo l'equazione della circonferenza passante per i seguenti punti:


\(A(0, 2), B(2, 4)\) e \(C(1, 0)\)


Ricordando che l'equazione generica della circonferenza è \(x^2+y^2+ax+by+c =0,\) possiamo impostare il sistema a tre equazioni e tre incognite:


\( \begin{cases} 4+2b+c =0\\ 4+16+2a+4b+c =0\\ 1+a+c =0\end{cases} \)    \(\longrightarrow\)    \( \begin{cases} b={-3+a \over 2}\\ 20+2a+4b+c =0\\ c =-a-1\end{cases} \)


\( \begin{cases} b={-3+a \over 2}\\ 20+2a-6+2a-a-1 =0\\ c =-a-1\end{cases} \)    \(\longrightarrow\)    \( \begin{cases} b={-3+a \over 2}\\ a =-{13 \over 3}\\ c =-a-1\end{cases} \)



\(a = -{13 \over 3}\),    \(b = - {11 \over 3}\),    \(c= {10 \over 3}\)


Quindi la soluzione sarà:


\(x^2+y^2- {13 \over 3}x+- {11\over 3}y+{10 \over 3} =0\)



Metodo alternativo


Come avrete intuito risolvere un sistema a \(3\) equazioni e \(3\) incognite è un metodo abbastanza ostico per trovare l’equazione della circonferenza dati \(3\) punti. Per questo motivo suggeriamo quest’altro metodo che può rivelarsi più veloce:

Circonferenza2

Conoscendo le proprietà dell'asse di un segmento sappiamo che ogni punto ad esso appartenente è equidistante da gli estremi. E con questo?


Sfruttando questa proprietà troviamo le \(2\) equazioni degli assi dei \(2\) segmenti che uniscono \(2\) dei nostri \(3\) punti e, mettendole a sistema, troviamo il loro punto di intersezione.


Ora avendo tracciato i \(2\) assi ci accorgiamo facilmente che il loro punto di intersezione è equidistante dai \(3\) punti di partenza. Ecco trovato il nostro centro.


L’ultimo passo è calcolare il raggio che è semplicemente la distanza tra il centro e uno qualsiasi dei nostri punti.



Posizione di una retta rispetto a una circonferenza


Una retta può essere posizionata in \(3\) modi rispetto a una circonferenza:


•   Tangente (2 intersezioni coincidenti, perpendicolare al raggio) \(\Delta = 0\)


•   Secante (2 intersezioni) \(\Delta > 0\)


•   Esterna (nessuna intersezione) \(\Delta < 0 \)


Date una retta e una circonferenza possiamo verificare la loro posizione reciproca analizzando il \(\Delta\) della risolvente (equazione a una sola incognita ottenuta in un sistema eliminando le altre incognite).


Se il \(\Delta\) è maggiore di \(0\) la retta sarà secante, se uguale a \(0\) la retta sarà tangente, mentre se il \(\Delta\) è minore di \(0\) la retta sarà esterna.


Esempio:


Verifica che la retta \(y-3x=0\) sia tangente alla circonferenza \(x^2+y^2-6x+2y=0\)


\(\begin{cases}y-3x=0\\x^2+y^2-6x+2y=0\end{cases} \)    \(\longrightarrow\)    \(\begin{cases}y=3x\\x^2+y^2-6x+2y=0\end{cases} \)


\(\begin{cases}y=3x\\x^2+9x^2 -6x + 6x=0\end{cases}\)    \(\longrightarrow\)   \(10x^2=0\)   \(\longrightarrow\)   \(\Delta = 0\)   - Tangente


Un altro modo per verificare la posizione retta-circonferenza è quello di calcolare la distanza tra la retta e il centro della circonferenza e confrontarlo con il raggio, se è maggiore sarà esterna, se minore secante e se uguale tangente.