Archi associati

Di seguito analizzeremo gli archi associati.

Cosa sono

1° caso

2° caso


Cosa sono gli archi associati


Sappiamo che le funzione seno e coseno sono funzioni periofiche con periodo \(2\pi,\) per questo se aggiungo multipli di \(2\pi\) all'argomento non cambia niente:


\(\cos(x) = \cos(x+2\pi)\)


Se invece sommo o sottraggo multipli di \({\pi\over 2},\) il risultato cambia, ma esistono comunque delle semplici relazioni. Se quindi ho un angolo \(\alpha,\) avremo degli archi associati (o angoli associati) come \(\alpha + {\pi \over 2},\) \(\alpha - \pi\) o altri le cui funzioni goniometriche sono legate da semplici relazioni.


Dividiamo in due casi:



Primo caso


Se l'argomento è del tipo:


\(\pm \alpha\)


oppure:


\(\pm 2\pi \pm \alpha\)


o


\(\pm \pi \pm \alpha\)


Allora è uguale a più o meno la funzione goniometrica. Vediamo un esempio:


Semplifichiamo questo:


\(\cos(\pi - \alpha)\)


Siccome l'argomento rientra nei casi di prima, sappiamo che è uguale o \(\cos(\alpha)\) o a \(-\cos(\alpha).\) Come fare?


Basta supporre che \(\alpha\) si trovi nel primo quadrante e vedere che segno ha \(\cos(\pi -\alpha):\)

Segno coseno

Il segno di \(\cos(\pi -\alpha)\) è negativo, quindi dovremo mettere meno:


\(\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)\)


Se invece, ad esempio, abbiamo \(\tan(- \alpha),\) siccome il suo argomento rientra in quelli di prima, dobbiamo solo trovare il segno:

Segno tangente

Notiamo che il segno è negativo, dunque dovremo avere:


\(\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)\)



Secondo caso


L'argomento può inoltre essere del segunte tipo:


\(\pm \alpha \pm {\pi\over 2}\)


\(\pm \alpha \pm {3\pi\over 2}\)


Il procedimento è lo stesso identico di prima, ma invece che lasciare la stessa funzione goniometrica, dobbiamo mettere la sua funzione complementare. Quindi se abbiamo il seno, metteremo il coseno, se abbiamo la cosecante metteremo la secante e così via.


Vediamo un esempio. Semplifichiamo questo:


\(\cos(\alpha - {\pi \over 2})\)


Al posto del coseno dovremo mettere il seno. Vediamo in quale quadrante finisce l'angolo per decidere il segno:

quadrante dell'angolo

Si trova nel quarto quadrante ed il coseno è negativo in esso, dunque dobbiamo mettere il più:


\(\cos(\alpha - {\pi \over 2}) = + \sin (\alpha)\)