Il moto rettilineo uniformemente accelerato è sempre un moto che avviene su una retta, ma questa volta la velocità non è più costante. Introduciamo infatti una nuova grandezza fisica: l’accelerazione media. Se al tempo t_0 il corpo ha una velocità v_0 ed al tempo t_1 ha una velocità v_1, avremo:
a_m=\frac{v_1-v_0}{t_1-t_0}
L’accelerazione media è uguale al cambiamento della velocità diviso il cambiamento del tempo. Usando la notazione con i \Delta, avremo:
Possiamo isolare v_1 in funzione di t ed ottenere:
v(t)-v_0=a_m(t-t_0)
v(t)=v_0+a_m(t-t_0)
Siccome a_m è costante, possiamo riscriverla come una più generica accelerazione a.
La formula appena trovata viene spesso chiamata “legge oraria della velocità di un moto rettilineo uniformemente accelerato”.
Come per il moto rettilineo uniforme, sarebbe molto utile trovare la posizione del corpo in funzione del tempo. Per fare questo dobbiamo guardare al grafico velocità-tempo:
Otteniamo un trapezio rettangolo. Si può dimostrare usando matematica più avanzata (infatti a scuola viene spesso dato come fatto caduto dal cielo) che l’area del trapezio è uguale allo spazio percorso.
L’altezza del trapezio è uguale al tempo trascorso \Delta t). La prima base è uguale a v_0, mentre la seconda è uguale a v(t). Di conseguenza, usando la formula dell’area di un trapezio:
A={(b_1+b_2)\cdot h \over 2}
\Delta S = {(v(t)+v_0)\cdot \Delta t \over 2}
Possiamo usare la legge oraria della velocità per sostituire v(t):
\Delta S= \frac{(v_0+a(\Delta t)+v_0)\cdot (\Delta t)}{2}
S(t)-S_0= \frac{(2v_0+a(t-t_0))\cdot (t-t_0)}{2}
S(t)-S_0= v_0(t-t_0)+{a(t-t_0)^2 \over 2}
S(t)= S_0+v_0(t-t_0)+{a(t-t_0)^2 \over 2}
E questa è la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.
Se poi abbiamo t_0=0 e S_0=0, la legge oraria si semplifica in:
S(t)=v_0t+{at^2 \over 2}
Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato usando la velocità media.
Riprendiamo la formula di prima:
S(t)-S_0=\frac{(v_0+v(t))\cdot (t-t_0)}{2}
Ovvero:
S(t)-S_0=\frac{v_0+v(t)}{2}\cdot (t-t_0)
Notiamo che la velocità media v_m è proprio uguale a {v_0+v(t) \over 2} e quindi:
S(t)-S_0=v_m(t-t_0)
S(t)=S_0+v_m(t-t_0)
Questa formula è utile perché se tra i dati avete la velocità media vi permette di fare qualche calcolo in meno, ma non è fondamentale saperla. Le formula che dovete assolutamente ricordare sono la legge oraria della velocità e la legge oraria dello spazio (la formula ricavata nel paragrafo precedente).
Un oggetto parte da una posizione di riposo e accelera a 2 \, \text{m/s}^2 in linea retta. Dopo quanto tempo raggiunge una velocità di 10 \, \text{m/s}?
5 \, \text{s}
Per calcolare il tempo necessario, possiamo utilizzare la formula del moto rettilineo uniformemente accelerato:
v(t) = v_0 + at
Sappiamo che la velocità iniziale è 0 \, \text{m/s}, l'accelerazione è 2 \, \text{m/s}^2 e vogliamo raggiungere una velocità finale di 10 \, \text{m/s}.
Quindi, possiamo scrivere l'equazione come:
10 \, \text{m/s} = 0 \, \text{m/s} + (2 \, \text{m/s}^2 \cdot t)
Risolvendo per il tempo:
t = \frac{10 \, \text{m/s}}{2 \, \text{m/s}^2} = 5 \, \text{s}
5s
Un'automobile parte da una posizione di riposo e accelera a 4 \, \text{m/s}^2 in linea retta. Dopo quanto spazio percorso raggiunge una velocità di 16 \, \text{m/s}?
32 \, \text{m}
Per calcolare la distanza percorsa, possiamo utilizzare la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato:
S(t) = S_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}
Sappiamo che la velocità iniziale è 0 \, \text{m/s}, scegliamo la nostra origine in modo tale che S_0 = 0, l'accelerazione è 4 \, \text{m/s}^2 e vogliamo raggiungere una velocità di 16 \, \text{m/s}.
Sostituiamo i dati nell'equazione:
S(t) = 0 +0rt + \frac{4\text{m/s}^2 t^2}{2}
S(t) = 2\text{m/s}^2 t^2
Ora, sappiamo che vogliamo raggiungere una velocità di 16 \, \text{m/s}, quindi possiamo usare la legge oraria della velocità:
v(t) = v_0 + at
16 \text{m/s} =0 + 4 \text{m/s} \cdot t
t = 4s
Possiamo quindi calcolare la distanza percorsa:
S(t)= 2 \, \text{m/s}^2 \cdot (4 \, \text{s})^2 = 2 \, \text{m/s}^2 \cdot 16 \, \text{s}^2 = 32 \, \text{m}
32m
Un oggetto parte da una posizione di riposo e accelera a 2 \, \text{m/s}^2 in linea retta. Dopo quanto tempo raggiunge una velocità di 10 \, \text{m/s}?
t = 5 \, \text{s}
Per calcolare il tempo necessario, possiamo utilizzare la legge oraria della velocità del moto rettilineo uniformemente accelerato:
v = v_0 + at
Sappiamo che la velocità iniziale è v_0 = 0 \, \text{m/s}, l'accelerazione è a = 2 \, \text{m/s}^2 e vogliamo raggiungere una velocità finale di v = 10 \, \text{m/s}.
Quindi, possiamo scrivere l'equazione come:
10 \, \text{m/s} = 0 \, \text{m/s} + (2 \, \text{m/s}^2 \cdot t)
Risolvendo per il tempo t:
t = \frac{10 \, \text{m/s}}{2 \, \text{m/s}^2} = 5 \, \text{s}
5s
Un treno parte da una stazione ferroviaria con una velocità iniziale di 12 \, \text{m/s} e accelera a 1.5 \, \text{m/s}^2 per 100 \, \text{s}. Dopodiché, mantiene costante la sua velocità per 30 \, \text{s} e infine decelera uniformemente a 2 \, \text{m/s}^2 fino a fermarsi. Calcola la distanza totale percorsa dal treno durante l'intero processo.
20 \, \text{km}
Per calcolare la distanza totale percorsa S_{totale} durante l'intero processo, possiamo suddividere il moto del treno in tre parti: accelerazione, velocità costante e decelerazione.
Parte 1: Accelerazione per 100 \, \text{s} con una velocità iniziale di 12 \, \text{m/s} e un'accelerazione di 1.5 \, \text{m/s}^2.
Utilizzando la formula S =S_0+ v_0t + \frac{1}{2}at^2 per il moto uniformemente accelerato, imponendo S_0 = 0 possiamo calcolare la distanza percorsa durante questa fase:
S_1 = 12 \, \text{m/s} \cdot 100 \, \text{s} + \frac{1}{2} \cdot 1.5 \, \text{m/s}^2 \cdot (100 \, \text{s})^2 \approx 8700 \text{m}
Troviamo poi la velocità finale per poter trovare a quale velocità costante si muoverà nel prossimo tratto. Per farlo basta usare la legge oraria della velocità:
v(t) = v_0 + at = 12 \text{m/s} + 1,5{m/s^2} \cdot 100\text{s} \approx 160 \text{m/s}
Parte 2: Velocità costante per 30 \, \text{s} a v = 160 \, \text{m/s}.
Durante il moto a velocità costante, la distanza percorsa è semplicemente la velocità moltiplicata per il tempo:
S_2 = 160 \, \text{m/s} \cdot 30 \, \text{s}\approx 4800 \text{m}
Parte 3: Decelerazione uniforme a 2 \, \text{m/s}^2 fino a fermarsi.
Utilizziamo la legge oraria della velocità per troavre dopo quanto tempo si fermerà:
v(t) = v_0 - at
0 = 160 \text{m/s} -2 {m/s}^2 \cdot t
t = 80s
Ora utilizziamo la legge oraria imponendo che S_0 sia uguale a 0 per trovare la distanza percorsa:
S(t) = S_0 + v_0t + {at^2 \over 2}
S(t) = 0 + 160\text{m/s}\cdot 80\text{s} - {2\text{m/s}^2 \cdot (80\text{s}^2)\over 2} \approx 6400 \text{m}
Ora possiamo sommare le distanze percorse in ciascuna parte per ottenere la distanza totale percorsa:
S_{totale} = 8700\text{m} + 4800\text{m} + 6400\text{m} \approx 20000\text{m} = 20 \text{km}
20\text{km}
Un corridore olimpionico viaggia con un moto rettilineo uniforme a velocità costante pari a 8 m/s. Una macchina da ferma comincia ad accelerare a 2,5 m/s quando il corridore si trova 50 metri davanti ad essa. Quanto spazio avrà percorso il corridore quando la macchina l'avrà raggiunto?
80 \, \text{m}
Scegliamo come origine la posizione iniziale del corridore. La legge oraria di quest'ultimo sarà dunque:
S(t) = 8\text{m/s} \cdot t
Mentre quella della macchina sarà:
S(t) = - 50\text{m} + {2,5 \text{m/s}^2 \cdot t^2 \over 2}
Quando la macchina avrà raggiunto il corridore, staranno nella stessa posizione, per cui i due S(t) saranno uguali, per cui avremo:
8\text{m/s}\cdot t = - 50\text{m} + {2,5 \text{m/s}^2 \cdot t^2 \over 2}
-1,25\text{m/s^2}\cdot t^2 + 8\text{m/s} \cdot t + 50 \text{m} = 0
Risolvendo l'equazione di secondo grado otteniamo:
t\approx 10s
Quindi possiamo sostituire il tempo nella legge oraria del corridore per trovare la distanza da lui percorsa:
S(t) = 8\text{m/s} \cdot 10\text{s} = 80m
80m